Турниры в терминах графов и не только (считаем игры и очки)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Несколько команд провели турнир по футболу, каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Команда “Бельчата” заняла первое место, набрав больше всего очков, а команда “Метеор” — последнее место, набрав меньше всего очков. Если бы за победу давали не 3 очка, а 2, то наоборот, команда “Метеор” стала бы первой, а команда “Бельчата” — последней. Найдите наименьшее количество команд, которое могло участвовать в таком турнире.
Подсказка 1
Давайте попробуем изучить разницу набранных очков указанных команд до и после изменения системы. Подумайте, насколько много побед нужно одержать команде, чтобы она смогла попасть на первое место?
Подсказка 2
Разница между количеством очков команд на первом и на последнем месте хотя бы 2. А могло ли быть такое, что "Метеор" совсем никого не обыграл?
Подсказка 3
"Метеор" обязательно кого-то обыграет, так как иначе у него будет набрано не более половины всех очков. Можно ли провести аналогичные рассуждения про "Бельчат"?
Подсказка 4
Чтобы уменьшение баллов за победу дало "Бельчатам" попасть на последнее место, у них поражений должно быть больше, чем побед! Тогда давайте проследим, как сильно могли измениться баллы "Метеора"? Сколько и каких игр нужно "Бельчонку", чтобы в любом случае упасть ниже соперников?
Подсказка 5
После пересчёта "Метеор" потеряет хотя бы одно очко, тогда несложно посчитать, сколько же очков должны потерять "Бельчата", чтобы условие выполнилось! Не забудьте построить пример ;)
Оценка: До пересчёта у команды «Бельчата» было хотя бы на 2 очка больше, чем у команды «Метеор», а после пересчёта - хотя бы на 2 очка меньше. Кроме того, чтобы после пересчёта оказаться первой, команда «Метеор» должна иметь хотя бы одну победу. Действительно, в каждом матче разыгрывается 2 очка, поэтому если бы у команды «Метеор» не было побед, то она набрала бы не более половины возможного числа очков и не могла бы стать первой. Аналогично, для того чтобы команда «Бельчата» стала последней, у неё должно быть поражений больше, чем побед. Таким образом, после пересчёта команда «Метеор» потеряет как минимум 1 очко. Следовательно, команда «Бельчата» должна потерять не менее 5 очков, т. е. у неё должно быть не меньше пяти побед и не меньше шести поражений. Поэтому она сыграла как минимум 11 матчей, значит, в турнире участвовало не менее 12 команд.
Пример: Приведён в таблице (первой буквой В обозначен выигрыш, два последних столбца — количество очков до и после пересчета соответственно).
| Команда |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | Сумма 1 | Сумма 2 |
 | B | B | B | B | B | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 15 | 10 | |
 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |  |  |  | 0 | 0 | 1 | 14 | 11 | |
 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |  |  |  | 0 | 1 | 14 | 11 | |
 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |  |  |  | 1 | 14 | 11 | |
 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |  | 0 | 0 |  |  | 1 | 14 | 11 | |
 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |  |  | 0 | 0 |  | 1 | 14 | 11 | |
 |  | 0 |  |  | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 14 | 11 | |
 |  | 0 | 0 |  |  | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 14 | 11 | |
 |  | 0 | 0 | 0 |  |  | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 14 | 11 | |
 |  |  | 0 | 0 | 0 |  | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 14 | 11 | |
 |  |  |  | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 14 | 11 | |
 |  | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 13 | 12 | |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
