Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Турниры в терминах графов и не только (считаем игры и очки)

Тема Графы и турниры

Турниры в терминах графов и не только (считаем игры и очки)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела графы и турниры

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#34896

В однокруговом турнире по шахматам, в котором победитель получает 2 очка, проигравший — 0, а сыгравший вничью — 1 очко (будем называть такой турнир 2-1-0) участвовало 8 шахматистов. Все набрали разное количество очков. Участник, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько участники, занявшие места с пятое по восьмое вместе. Как закончилась партия между участниками, занявшими третье и пятое места?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое наибольшее число очков могли получить участники на первом и втором месте?

Подсказка 2

Верно, выиграв всех и разыграв два очка между собой, они могли получить не более 26 очков в сумме. Первый получил больше очков, чем второй, поэтому у второго не более 12 очков, а тогда последние четверо в сумме набирают не больше 12 очков. Как это могло произойти?

Показать ответ и решение

Всего в турнире $8⋅7∕2 =28$ игр, и в каждой игре разыгрывается $2$ очка. Четыре последних участника в играх между собой разыгрывают и набирают в сумме $(4⋅3)∕2⋅2= 12$ очков, а два первых в сумме не больше $7 ⋅2 +6⋅2= 26$ . Так как первый участник набрал больше второго (то есть второй набрал $< 26∕2= 13$ ), четыре последних не могут набрать в сумме больше 12 очков (которые они и набирают только в играх между собой), значит, они проигрывают всем остальным, откуда следует ответ.

Ответ:

Третий выигрывает у пятого

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#34898

Несколько шахматистов должны были провести турнир в один круг. Два игрока, сыграв поровну партий, выбыли из турнира. В результате состоялось 23 партии. Играли ли выбывшие шахматисты друг с другом?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть в турнире участвовали n игроков. Как оценить снизу и сверху количество партий?

Подсказка 2

Верно! Если два выбывших не сыграли ни одной партии, то должно было быть сыграно (n-2)(n-3)/2 игр, а если бы они не выбыли, то сыграны были бы все n(n-1)/2 партий. Какие тогда могут быть n?

Подсказка 3

Верно! n = 8 или n = 9. А что тогда можно сказать о числе несыгранных партий?

Подсказка 4

Точно! Оно нечетно, а когда это возможно?

Показать ответ и решение

Пусть в турнире участвовали $n$ игроков. Они должны были сыграть $n(n−-1) 2$ партий, из них $(n−2)(n−3) 2$ партий сыграли друг с другом невыбывшие игроки. По условию

(n− 2)(n− 3) n(n− 1) -----2-----≤23 ≤---2---,

откуда $n =8$ или 9.

В обоих случаях число несостоявшихся партий $n(n−1) --2-- − 23$ нечётно. Ещё из условия следует, что у выбывших осталось не сыграно по одинаковому числу партий. Сумма этих чисел чётна, значит, не равна общему числу несостоявшихся партий. Такое возможно в единственном случае: когда партия между выбывшими учитывается в сумме дважды. Значит, выбывшие не играли между собой.

Ответ:

Нет, не играли

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#35095

В шахматном турнире некоторые из $n$ участников были мастерами, остальные — гроссмейстерами. Оказалось, что каждый участник набрал против мастеров столько же очков, сколько против гроссмейстеров. Докажите, что $n$ — квадрат натурального числа.

Показать доказательство

Пусть в турнире участвуют $k$ мастеров и $m$ гроссмейстеров. Мастера во встречах между собой набирают $k(k−1) 2$ очков, значит, во встречах с гроссмейстерами они в сумме набирают столько же. Аналогично гроссмейстеры в сумме набирают против мастеров $m(m−1) 2$ очков. Итак, всего в партиях между гроссмейстерами и мастерами набрано $m(m−1) k(k−1) 2 + 2$ очков. Но всего таких партий $km$ , поэтому и сумма равна $km.$ А равенство

m(m − 1) k(k− 1) ---2---+ ---2--= km

равносильно равенству $k+ m = (k − m )2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85486

Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге $60%$ от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?

Источники: ММО - 2024, второй день, 11.2 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если в первом туре они набрали 60% от общей суммы очков, то выходит во втором туре они набрали 40% от общего числа очков. То есть в первом круге они набрали в 1,5 раза больше чем во втором. Как-будто это очень немало. Отсюда, хотелось бы сделать оценку на количество очков набранных за один тур.

Подсказка 2

Давайте посмотрим на один матч. За каждый матч суммарно команды получили либо 2, либо 3 очка. Но в таком случае, так как количество игр равно n(n-1)/2, где n - количество команд, то как мы можем оценить суммарное кол-во очков?

Подсказка 3

Верно, мы можем оценить, что количество очков за один тур расположено от 2*n(n-1)/2 до 3*n(n-1)/2. Значит, если количество очков в двух турах отличается в 1,5 раза, то так как во втором туре хотя бы 2*n(n-1)/2, а в первом не более 3*n(n-1)/2, то их отношение хотя бы 3/2. При этом, понятно, что тогда в первом туре ровно 3n(n-1)/2 очков, а во втором ровно 2n(n-1)/2. Но тогда, в первом туре ничьей не было, а во втором все сыграли в ничью. Осталось только применить это знание и факт того, что победитель во втором туре набрал в 30 раз меньше очков чем все суммарно в первом и получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть в турнире участвовало $n$ команд. Заметим, что в каждом матче две команды в сумме получают 2 или 3 очка. Значит, общее количество очков, которые могут набрать все команды в одном круге, не меньше, чем $n(n−1) 2⋅ 2$ , и не больше, чем $n(n−1) 3⋅ 2$ . Из условия следует, что все команды вместе набрали в первом круге ровно в полтора раза больше очков, чем во втором ( $60%$ всех очков в первом круге и $40%$ во втором). Но это возможно лишь в случае, если в первом круге все матчи закончились победой одной из команд (общая сумма очков $n(n−1) 3 ⋅ 2$ ), а во втором - ничьей (общая сумма очков $n(n−1) 2⋅ 2$ ). Значит, победитель набрал во втором круге $n− 1$ очков. По условию, $n(n−1) 30⋅(n− 1)=3⋅ 2$ , откуда находим $n =20$ .

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92127

Некоторые участники турнира дружат между собой, и у каждого есть хотя бы один друг. Каждому участнику турнира выдали футболку, на которой написано количество его друзей на турнире. Докажите, что хотя бы у одного участника среднее арифметическое чисел на футболках его друзей не меньше, чем среднее арифметическое чисел на всех футболках.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачах, где необходимо показать существование объекта с некоторым свойством, полезно предполагать противное. Дело в том, что обратное утверждение заключается в том, что каждый объект не обладает данным свойством, а этим пользоваться куда проще.

Подсказка 2

Предполагая обратное, мы получим, что сумма по всем участникам средних арифметических его друзей меньше, чем сумма по всем участникам количества их друзей. Чему равно последнее?

Подсказка 3

Оно равно количеству пар друзей. Почему данное неравенство невозможно?

Подсказка 4

Как иначе можно расписать сумму по всем участникам средних арифметических его друзей?

Подсказка 5

Пусть n_k --- количество друзей k-того участника. Тогда сумма равна сумме {n_j}/{n_i}+{n_i}/{n_j} по всем парам друзей (i, j). Почему она не меньше удвоенного количества пар друзей?

Показать доказательство

Пронумеруем всех участников турнира числами от $1$ до $N.$ Для любого $i= 1,...,N-$ для $i$ -го участника $n i$ — количество его друзей друзей,

∑j∈T nj si =--nii--

где $Ti$ — множество всех друзей $i$ -го участника. Предположим противное: каждое $si$ меньше, чем среднее количество друзей, тогда

S =s1+ s2+ ...+sN < 2E

(удвоенного количества пар друзей). Переставив слагаемые в сумме $S,$ видим, что $S$ равно сумме

∑ ( ) nnj+ nni i j

где суммирование ведется по всем парам участников $(i,j),$ которые являются друзьями. Каждое слагаемое в сумме не меньше $2$ (как сумма взаимно обратных положительных чисел), поэтому $S ≥2E.$ Противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#94939

В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных одну партию. Докажите, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не проиграл непосредственно за ним следующему.

Показать доказательство

Будем доказывать это утверждение индукцией по числу участников.

База для $n= 1$ и $n= 2$ очевидна.

Переход: $n→ n +1.$ Рассмотрим турнир из $(n+ 1)−$ го участника. Среди них выделим $n$ участников. По предположению индукции их можно занумеровать от 1 до $n,$ получив цепочку, где $i−$ й участник не проиграл $(i+ 1)−$ му $(i$ любое от 1 до $n− 1).$ Теперь посмотрим, куда можно “вставить” последнего $(n +1)−$ го участника в данную цепочку. Начиная с 1-го, будем искать первого участника, которому проиграл $(n+ 1)−$ й, пусть это будет участник под номером $x$ . Если $x$ от 2 до $n,$ то, так как перед ним все участники проиграли $(n+ 1)−$ му, то если вставить $(n +1)−$ го между $(x− 1)−$ м и $x−$ м, то мы получим цепочку, где каждый участник не проиграл непосредственно за ним следующему, останется их только перенумеровать. Если $x= 1,$ то $(n+1)−$ го ставим в самое начало цепочки, а если $(n+1)−$ й выиграл каждого из $n,$ то поставим его в самый конец. Перенумеруем. Переход доказан.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#98061

Восемь команд высшей лиги — А, Б, В, Г, Д, Е, Ж и З — разбиты на пары и играют третий математический бой.

• Инна предполагает, что в боях победят команды А, Б, В и Г.

• Оля — что победят Г, Д, В и Е.

• Егор отдает предпочтение командам Ж, Д, Б и Г.

Кто с кем играет третий бой?

Показать ответ и решение

Рассмотрим команду Г. Она не могла играть с командами А, Б и В из первого утверждения, не могла играть с командами Д, В и Е из второго утверждения и не могла играть с командами Ж, Д и Б из третьего утверждения. Значит, команда Г играла с командой З. Рассмотрим команду В. Она не могла играть с командами А, Б и Г из первого утверждения, не могла играть с командами Г, Д и Е из второго утверждения и не могла играть с командами Г и З, так как они играют между собой. Значит, команда В играла с командой Ж. Рассмотрим команду Д. Она не могла играть с командами Г, В и Е из второго утверждения, не могла играть с командами Ж, Б и Г из третьего утверждения и не могла играть с командами Г, З, В и Ж, так как они играют между собой. Значит, Д играла с командой А. Тогда оставшиеся две команды — Б и Е играют между собой.

Ответ: Г и З, В и Ж, Д и А, Б и Е

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#100083

Андрей, Боря и Вова играли в шахматы. Андрей сыграл $5$ игр, а Боря — $7$ игр. Мог ли Вова сыграть $11;14$ игр? Ответ запишите в формате да/нет для каждого из двух пунктов через пробел.

Показать ответ и решение

Если Вова сыграл 11 игр, то общее число игр в турнире равно $5+7+11 2$ — а это не целое число, столько игр быть не могло.

Сыграть 14 игр Вова тоже не мог, потому что это больше, чем Андрей и Боря вместе взятые. Не играл же Вова сам с собой!

Ответ: нет нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#67672

В турнире по теннису (где не бывает ничьих) участвовало более $4$ спортсменов. Каждый игровой день каждый теннисист принимал участие ровно в одной игре. К завершению турнира каждый сыграл с каждым в точности один раз. Назовём игрока упорным, если он выиграл хотя бы один матч и после первой своей победы ни разу не проигрывал. Остальных игроков назовём неупорными. Верно ли, что игровых дней, когда была встреча между неупорными игроками, больше половины?

Источники: ММО-2023, 11.4 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В такой конструкции полезно для начала посмотреть на крайние объекты, например, на последний день турнира. Что во время него произошло?

Подсказка 2

Правильно, в последний день выиграли все упорные, а тогда их не больше половины. Что будет, если их меньше половины?

Подсказка 3

Ну если их меньше половины, то каждый день была встреча между неупорными, это нас устраивает. А вот если их ровно половина, то тогда всего игроков будет 2k, поровну упорных и неупорных, попробуем доказать, что было хотя бы k дней, когда была встреча между неупорными.

Подсказка 4

Заметим, что это равносильно тому же условию, только для упорных, подумайте, почему это так! Конечно же, будем доказывать от противного, при этом исследовать ситуацию для встреч между упорными игроками, потом просто воспользуемся доказанной равносильностью!

Подсказка 5

Поймём, что упорные обязаны играть между собой в одни и те же дни, т.е. провести собственный минитурнир. А когда такое возможно?

Подсказка 6

Конечно, только при чётном количестве упорных игроков. Но теперь вспомним условие, что 2k > 4!

Подсказка 7

В силу чётности k из него следует, что k ≥ 4, тогда в первый день минитурнира выиграло как минимум два упорных игрока. Но ведь они потом встретятся ещё между собой!

Подсказка 8

Тогда кто-то из них выиграет, а другой проиграет, до этого уже выиграв! Это противоречие! Значит, требуемое доказано :)

Показать ответ и решение

В последний день все упорные выиграли. Значит, их не больше половины. Если их меньше половины, то каждый день была встреча между неупорными игроками. Остаётся рассмотреть случай, когда количество упорных $k$ составляет половину от общего числа игроков $2k.$ Такой турнир длился $2k− 1$ дней, и нужно доказать, что было хотя бы $k$ дней, когда была встреча между неупорными. Это равносильно тому, что было хотя бы $k$ дней, когда была встреча между упорными, так как и тех и других — ровно половина (если все упорные играют только с неупорными, то в этих встречах участвуют все неупорные, и обратно).

Предположим противное: пусть встречи между неупорными игроками проходили менее, чем в половине всех дней турнира. Тогда, в силу замечания выше, то же самое можно сказать и про встречи между упорными игроками. Так как всего упорных игроков $k,$ каждый упорный играл с упорными $k− 1$ день. Поэтому единственный возможный вариант, при котором встречи между упорными игроками проходили менее чем в половине дней турнира, — это когда все упорные играют между собой в одни и те же дни. Другими словами можно сказать, что упорные проводят в этот $k− 1$ день между собой минитурнир, а такое возможно только если число упорных игроков чётно. Вспомним теперь, что $2k> 4,$ то есть $k> 2,$ а поскольку $k$ — чётное, то $k≥ 4.$ Тогда в первый из дней минитурнира играли по крайней мере две пары упорных игроков, а значит было хотя бы два упорных, победивших в этот день. В дальнейшем они должны сыграть между собой, но тогда один из них проиграет после того, как выиграл. Противоречие. Значит, наше предположение неверно, и игровых дней, когда была встреча между неупорными игроками, не менее половины.

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#69407

Несколько команд провели турнир по футболу, каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Команда “Бельчата” заняла первое место, набрав больше всего очков, а команда “Метеор” — последнее место, набрав меньше всего очков. Если бы за победу давали не 3 очка, а 2, то наоборот, команда “Метеор” стала бы первой, а команда “Бельчата” — последней. Найдите наименьшее количество команд, которое могло участвовать в таком турнире.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем изучить разницу набранных очков указанных команд до и после изменения системы. Подумайте, насколько много побед нужно одержать команде, чтобы она смогла попасть на первое место?

Подсказка 2

Разница между количеством очков команд на первом и на последнем месте хотя бы 2. А могло ли быть такое, что "Метеор" совсем никого не обыграл?

Подсказка 3

"Метеор" обязательно кого-то обыграет, так как иначе у него будет набрано не более половины всех очков. Можно ли провести аналогичные рассуждения про "Бельчат"?

Подсказка 4

Чтобы уменьшение баллов за победу дало "Бельчатам" попасть на последнее место, у них поражений должно быть больше, чем побед! Тогда давайте проследим, как сильно могли измениться баллы "Метеора"? Сколько и каких игр нужно "Бельчонку", чтобы в любом случае упасть ниже соперников?

Подсказка 5

После пересчёта "Метеор" потеряет хотя бы одно очко, тогда несложно посчитать, сколько же очков должны потерять "Бельчата", чтобы условие выполнилось! Не забудьте построить пример ;)

Показать ответ и решение

Оценка: До пересчёта у команды «Бельчата» было хотя бы на 2 очка больше, чем у команды «Метеор», а после пересчёта - хотя бы на 2 очка меньше. Кроме того, чтобы после пересчёта оказаться первой, команда «Метеор» должна иметь хотя бы одну победу. Действительно, в каждом матче разыгрывается 2 очка, поэтому если бы у команды «Метеор» не было побед, то она набрала бы не более половины возможного числа очков и не могла бы стать первой. Аналогично, для того чтобы команда «Бельчата» стала последней, у неё должно быть поражений больше, чем побед. Таким образом, после пересчёта команда «Метеор» потеряет как минимум 1 очко. Следовательно, команда «Бельчата» должна потерять не менее 5 очков, т. е. у неё должно быть не меньше пяти побед и не меньше шести поражений. Поэтому она сыграла как минимум 11 матчей, значит, в турнире участвовало не менее 12 команд.

Пример: Приведён в таблице (первой буквой В обозначен выигрыш, два последних столбца — количество очков до и после пересчета соответственно).


Команда	$Б$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$M$	Сумма 1	Сумма 2

$Б$		B	B	B	B	B	0	0	0	0	0	0	15	10

$2$	0		1	1	1	1	$B$	$B$	$B$	0	0	1	14	11

$3$	0	1		1	1	1	0	$B$	$B$	$B$	0	1	14	11

$4$	0	1	1		1	1	0	0	$B$	$B$	$B$	1	14	11

$5$	0	1	1	1		1	$B$	0	0	$B$	$B$	1	14	11

$6$	0	1	1	1	1		$B$	$B$	0	0	$B$	1	14	11

$7$	$B$	0	$B$	$B$	0	0		1	1	1	1	1	14	11

$8$	$B$	0	0	$B$	$B$	0	1		1	1	1	1	14	11

$9$	$B$	0	0	0	$B$	$B$	1	1		1	1	1	14	11

$10$	$B$	$B$	0	0	0	$B$	1	1	1		1	1	14	11

$11$	$B$	$B$	$B$	0	0	0	1	1	1	1		1	14	11

$M$	$B$	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1		13	12

Ответ:

$12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#73377

$11$ шахматистов сыграли однокруговой турнир, причем каждый выиграл и проиграл по $4$ партии и две партии свел вничью. Докажите, что можно выбрать трех шахматистов и поставить их по кругу так, чтобы каждый из них выиграл у стоящего справа от него.

Показать доказательство

Переведём задачу на язык графов следующим образом. Вершины — шахматисты. Если игроки $A$ и $B$ сыграли вничью, не будем проводить между ними ребро, если $A$ выиграл $B,$ проведём ребро со стрелочкой к $A,$ в противном случае — со стрелочкой к $B.$ Нам нужно найти в полученном ориентированном графе хотя бы один циклический треугольник.

Всего в графе есть $3 C11 = 165$ потенциальных циклических треугольников. Что может сделать треугольник не циклическим? Либо в нём нет какого-то ребра, либо в нём две стрелки идут в одну вершину. Каждое отсутсвующее ребро портит $9$ треугольников. Все такие рёбра портят не более $99$ треугольников (потому что их $11⋅2 2 =11$ ). По условию в каждую вершину входит $4$ стрелочки, то есть каждая вершина портит $2 C4 =6$ треугольников, а значит всего таким образом испорчено не более $66$ треугольников. К сожалению, $66+ 99= 165.$ Однако по условию из каждой вершины выходит два отсутствующих ребра. То есть если игрок $A$ сыграл с $B$ и $C$ вничью, то рёбра $AB$ и $BC$ портят треугольник $ABC,$ значит мы его посчитали дважды. Таким образом, всего испорчено не более $164$ треугольников. Следовательно, хотя бы один будет циклическим, что и требовалось.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#73383

$999$ команд сыграли двухкруговой турнир по волейболу: каждая сыграла с каждой матч дома и матч в гостях. Каждая команда выиграла ровно половину своих домашних матчей и ровно половину гостевых. Докажите, что какая-то из команд дважды обыграла какую-то другую. Напомним, что в волейболе ничьих не бывает.

Показать доказательство

Предположим противное, пусть такого не случилось. Тогда в любой паре команд в одном матче выиграла одна, а во втором — другая. Следовательно, все пары команд делятся на два типа: те, которые выиграли друг друга дома и те, которые выиграли друг друга в гостях.

Рассмотрим граф, в котором проведём рёбра между командами, выигравшими друг друга дома. Получается, что в графе $999$ вершин степени $499.$ Получили противоречие с леммой о рукопожатиях.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#77200

В соревновании школы по футболу участвуют 10 команд. За победу даётся 3 очка, ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. В каждом туре команды разбиваются на пары и проводят по одному матчу. По итогу каждая команда должна сыграть с каждой ровно 1 раз. Через какое наименьшее число туров может оказаться, что единоличный победитель выявлен досрочно?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия ясно, что всего туров не больше 9. Могло ли оказаться, что туров не более 4-ёх?

Подсказка 2

Верно, не может! Например, изначальный лидер мог после четырех боев проиграть во всех остальных встречах. Тогда туров хотя бы 5. Могло ли быть ровно 5 туров?

Подсказка 3

Любая команда набирает не более 15 очков за первые пять туров. Другая команда за оставшиеся 4 тура может набрать 12 очков. Значит, другая команда должна получить за первые пять туров хотя бы 3 очка. Возможно ли такое?

Подсказка 4

Верно, может! По принципу Дирихле одна из 9 не лидирующих команд получает за первые пять туров хотя бы 9 очков (ведь всего очков они разыгрывают не менее 80). Пусть теперь туров 6 и какая-то команда набрала за них 18 очков. Как построить пример, в котором остальные команды не обгонят эту лидирующую?

Показать ответ и решение

Из условия следует, что туров всего $9$ и в каждом матче разыгрывается как минимум $2$ очка. Оценим количество туров. Можно сказать, что $4$ и меньше туров не может быть, т.к. изначальный лидер может в оставшиеся $5$ туров потерять свое место, если будет все время проигрывать. Значит, туров больше, чем $4$ .

Если туров $5,$ то команда $A$ может набрать максимум $15$ баллов. Посмотрим, а может ли быть такое, что в оставшиеся $4$ тура команду $A$ обгонят. Рассмотрим случай, когда в оставшиеся $4$ тура команда $B$ набирает по $3$ очка, т.е. суммарно $12.$ Т.е. команда $A$ чтобы потеряла лидерство, нужно чтобы у команды $B$ было хотя бы $3$ очка в первые $5$ туров, когда $A$ набирает $15.$ За $5$ туров команды кроме A разыгрывают хотя бы $4⋅2⋅5= 40$ очков за $5$ туров ( $4$ матчей в каждом туре, в каждом матче по $2$ очка минимум). Тогда среди $9$ команд кто-то набрал хотя бы $5$ очков по принципу Дирихле, что больше $3,$ следовательно возможна ситуация когда единоличного лидера не определить досрочно.

$6$ туров уже может быть, составим пример. Пусть в первые $6$ туров команда $A$ набирает $18$ очков, другие $5,$ если играли с $A,$ или $6,$ если играли между собой. Тогда в оставшиеся $3$ тура команда $A$ набирает $0$ очков, а команда $B$ , у которой самое большее количество очков после $6$ туров, набирает $9$ очков. Остальные команды разыгрывают очки между собой.

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#100092

В баскетбольном турнире участвуют 32 команды. На каждом этапе команды поделены на группы по 4. В каждой группе каждая команда играет один матч с каждой другой. Лучшие 2 команды из группы проходят в следующий этап, а остальные — выбывают. После последнего этапа две лучшие команды выходят в финал и играют между собой один матч на звание победителя. Сколько всего игр было сыграно в турнире?

Показать ответ и решение

Рассмотрим, сколько будет игр между командами в группе по $4$ команды. Будем выбирать команды на игру последовательно — сначала первую команду, потом её противника. Тогда вариантов выбрать первую команду будет $4,$ так как всего команд в группе $4,$ а выбор её противника мы можем сделать только из $3$ оставшихся вариантов, потому что команда не может играть сама с собой. Чтобы получить количество игр в группе, нужно перемножить количество вариантов для выбора первой команды и количество вариантов выбора её противника. Стоит заметить, что если мы первой командой выберем команду $1$ и в противники ей команду $2,$ то эта игра будет считаться дважды, потому что мы точно так же можем выбрать первой командой команду $2,$ а её противником команду $1,$ значит, количество игр нужно поделить на $2.$

Итого: количество игр в группе по $4$ команды будет равно $6.$

Во время $1$ тура $32$ команды поделилось на $8$ групп. Тогда количество игр в $1$ туре — $8⋅6= 48.$ Так как в следующий тур проходит $2$ лучшие команды в своих группах, то во $2$ тур перешло $8 ⋅2 =16$ команд.

Во время $2$ тура $16$ команд поделилось на $4$ группы. Тогда количество игр во $2$ туре — $4⋅6= 24.$ А в $3$ тур перешло $4⋅2= 8$ команд.

Во время $3$ тура $8$ команд поделилось на $4$ группы. Тогда количество игр во $2$ туре — $2⋅6= 12.$ А в $4$ тур перешло $2⋅2= 4$ команд.

Во время $4$ тура $4$ команды попали в одну группу, и тогда количество игр равно $6.$

Так как после завершения $4$ тура из $1$ группы вышло $2$ команды, то они сыграли в финале, значит, к общей сумме нужно добавить еще $1$ игру.

Значит, общее кол-во игр в турнире будет равно

48+ 24+12+ 6+ 1= 91.

Ответ: 91

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#100095

В футбольном турнире участвовало $20$ команд (каждая команда сыграла с другими по одному матчу). Могло ли в результате оказаться так, что каждая из команд-участниц выиграла столько же матчей, сколько сыграла вничью? Ответ введите в формате да/нет.

Источники: Муницип - 2023, Удмуртия, 7.4 (см. tasks.olimpiada.ru)

Показать ответ и решение

Пусть суммарное количество побед всех команд-участниц турнира равно $n$ , тогда суммарное количество их поражений также равно $n$ . Предположим, что у каждой команды такое же количество ничьих, как и побед, тогда суммарное количество ничьих в таблице результатов турнира также равно $n$ . При таком подсчёте каждый матч был учтён дважды, т. е. сумма всех побед, ничьих и поражений в таблице результатов равна $20⋅19$ . Но уравнение $3n= 20⋅19$ не имеет натуральных решений. Противоречие.

Варианты правильных ответов:

нет
Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#100102

Двенадцать шахматистов участвовали в турнире, сыграв каждый с каждым по одной партии. За победу даётся $1$ очко, за ничью $0,5$ очка, за поражение $0$ очков. По окончании турнира стало известно, что все участники набрали разное число очков, а участник, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько набрали вместе участники, занявшие места с восьмого по двенадцатое. Как закончилась партия между участниками, занявшими седьмое и девятое места? В качестве ответа введите место победившего в этой партии игрока, а если они сыграли вничью, введите $0.$

Источники: Муницип - 2023, Иркутская обл., 7.5 (см. tasks.olimpiada.ru)

Показать ответ и решение

Участники, занявшие места с восьмого по двенадцатое, сыграли между собой 10 партий и набрали в сумме не менее 10 очков. Значит, игрок, занявший второе место, набрал не менее 10 очков.

Если он набрал 10,5 очков, то он выиграл 10 партий и в одной сыграл вничью. Если он сыграл вничью с победителем, то у победителя не более 10,5 очков. Противоречие.

Значит, игрок, занявший второе место, набрал ровно 10 очков. В этом случае все игроки, занявшие места с восьмого по двенадцатое, проиграли все свои партии игрокам, занявшим места с первого по седьмое.

Ответ: 7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#33560

В однокруговом турнире десяти команд команда А набрала очков больше любой другой команды, а команда Я — меньше любой другой. Какой наименьший разрыв в очках может быть между командами А и Я, если очки считаются

(a) по системе $2$ – $1$ – $0?$

(b) по футбольной системе $3$ – $1$ – $0?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём делать задачу с оценки, а потом уже придумаем пример. Для задач с такой формулировкой имеет смысл просто начать идти с первых натуральных чисел(так как нам нужно наименьшее число). Очень полезно задавать себе правильные вопросы! Может ли разрыв быть в 1 очко? А в 2 очка?

Показать ответ и решение

Оценка. Разрыв меньше двух очков быть не может: очки А и Я отличаются как минимум на очко от любой другой команды из восьми оставшихся команд. Кроме того, результаты остальных команд находятся строго между их результатами, потому что опять же А набрала очков больше любой другой команды, Я – меньше любой другой. Тогда между их результатами (числами очков) должно быть ещё хотя бы одно число, отсюда разница не меньше $2$ .

(a) Пример. Пусть все встречи, кроме одной, закончились вничью. Тогда победитель этой одной встречи набрал на $2$ очка больше проигравшего, а остальные расположились между ними. То есть в данном случае у команды А $10$ очков, а у команды Я – $8$ .

(b) Пример. Пусть $9$ команд (все, кроме А) выиграли друг у друга по кругу (каждая победила один раз и проиграла один раз), А победила Я, а остальные встречи закончились вничью. Тогда у А $11$ очков, у Я — $9$ очков, а у остальных — по $10$ .

Ответ:

(a) 2 очка

(b) 2 очка

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#33565

Команда «Метеор» в третьем матче турнира забросила втрое больше шайб, чем в первом, а во втором и четвёртом матчах — в сумме на $8$ шайб меньше, чем в первом и третьем вместе взятых. Известно, что в этих четырёх матчах «Метеор» забросил не более $11$ шайб. Какое наибольшее число из этих матчей он мог выиграть?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По задаче нам известно, что команда точно забила в первом и третьем матче. К тому же всего по условию за эти два матча они забили 4х шайбы, где х забитые шайбы в первом матче. Что тогда можно сказать о делимости общего количества шайб за эти два матча?

Показать ответ и решение

В первом и третьем матче «Метеор» забросил в сумме не более $11$ шайб. Но эта сумма в $4$ раза больше числа шайб, заброшенных в первом матче, значит, она делится на $4$ . Поэтому сумма не больше $8$ . Но во втором и четвёртом матче сумма на $8$ меньше, чем в первом и третьем, так что в первом и третьем сумма хотя бы $8$ .

Итак, сумма может быть равна только $8$ . Тогда во втором и четвёртом матчах «Метеор» забросил $0$ шайб, значит, он эти матчи выиграть не мог. А первый и третий он мог выиграть, например, со счётом $2:0$ и $6:0$ соответственно.

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#33569

В шахматном турнире каждый сыграл с каждым по одному разу. Победитель выиграл у всех и набрал очков в $5$ раз меньше, чем все остальные. Сколько было участников?

Источники: Муницип - 2020, Республика Татарстан, 10.3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сразу, что нам надо найти, обозначим за n. К тому же это круговой турнир(каждый сыграл с каждым по 1 разу). Но тогда, учитывая, что победитель выиграл всех, а сыграл он n-1 матч, то у него и n-1 очков. Попробуем составить какое-то уравнение, чтобы найти n. Нам что-то сказано про сумму очков остальных участников. Как же её можно найти, зная сколько набрал победитель?

Подсказка 2

Верно, мы можем посчитать, сколько всего разыграно очков, и из него вычесть очки победителя. В шахматах за партию разыгрывается 1 очко(1:0, 0:1 или 1/2:1/2), то есть нам нужно найти только количество партий. Сколько же их было?

Подсказка 3

Ага, их было (n-1)*n/2. Значит, было разыграно и столько очков. Отсюда уже легко найти сумму очков остальных участников и воспользоваться последним условием задачи. Осталось только решить уравнение и получить ответ.

Показать ответ и решение

Если всего участников $n$ и победитель выиграл у всех, то он набрал $n− 1$ очко. Всего разыграно $n(n-− 1) 2$ очков. Отсюда

n(n−-1)- 5(n − 1)= 2 − (n− 1)

Если $n= 1$ , то не выполняется условие задачи, потому что количество набранных очков – ноль. Ноль равен нулю, а не в пять раз меньше нуля.

Тогда разделим на $n − 1$ и получим

5= n2 − 1 ⇐ ⇒ n =12

Ответ:

$12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#33570

Среди участников кругового шахматного турнира мальчиков втрое больше, чем девочек. Ничьих не было, а в сумме мальчики набрали столько же очков, сколько и девочки. Кто занял первое место: мальчик или девочка?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Изначально перед нами предстают две "команды": девочки и мальчики, а еще даны какие-то условия на сумму набранных ими очков. Значит, было бы неплохо её посчитать, обозначив количество девочек за x. Но не совсем понятно, как нам считать количество очков девочек, если неясно, сколько раз девочка выигрывала у мальчика. Значит, надо бы "разделить" сумму очков на два слагаемых, одно из которых мы можем посчитать. На какие и что делать дальше?

Показать ответ и решение

Пусть в турнире участвовали $x$ девочек и $3x$ мальчиков. Тогда девочки в партиях между собой набрали $x(x−1) 2$ очков, а мальчики — $3x(3x−1) 2 .$ Разница составляет $3x(3x−1) x(x−1) 2 2 − 2 =4x − x$ очков. По условию мальчики и девочки в сумме набрали поровну. Значит, девочки набрали больше на $2 4x − x$ очков в партиях между мальчиками и девочками. В этих партиях было всего разыграно $2 3x$ очков, поэтому $2 2 3x ≥4x − x$ , то есть $2 x≥ x.$ Но $x$ — натуральное число, и потому $x= 1$ и неравенство обращается в равенство. Значит, в турнире участвовала одна девочка и три мальчика. Девочка набрала не менее $2 4x − x= 3$ очков, следовательно, она выиграла у всех мальчиков и заняла первое место.

Ответ:

девочка

Предыдущий раздел

Следующий раздел