Турниры в терминах графов и не только (считаем игры и очки)

Участники, занявшие места с восьмого по двенадцатое, сыграли между собой 10 партий и набрали в сумме не менее 10 очков. Значит, игрок, занявший второе место, набрал не менее 10 очков.

Если он набрал 10,5 очков, то он выиграл 10 партий и в одной сыграл вничью. Если он сыграл вничью с победителем, то у победителя не более 10,5 очков. Противоречие.

Значит, игрок, занявший второе место, набрал ровно 10 очков. В этом случае все игроки, занявшие места с восьмого по двенадцатое, проиграли все свои партии игрокам, занявшим места с первого по седьмое.

Оценка. Разрыв меньше двух очков быть не может: очки А и Я отличаются как минимум на очко от любой другой команды из восьми оставшихся команд. Кроме того, результаты остальных команд находятся строго между их результатами, потому что опять же А набрала очков больше любой другой команды, Я – меньше любой другой. Тогда между их результатами (числами очков) должно быть ещё хотя бы одно число, отсюда разница не меньше .

(a) Пример. Пусть все встречи, кроме одной, закончились вничью. Тогда победитель этой одной встречи набрал на очка больше проигравшего, а остальные расположились между ними. То есть в данном случае у команды А очков, а у команды Я – .

(b) Пример. Пусть команд (все, кроме А) выиграли друг у друга по кругу (каждая победила один раз и проиграла один раз), А победила Я, а остальные встречи закончились вничью. Тогда у А очков, у Я — очков, а у остальных — по .

В первом и третьем матче «Метеор» забросил в сумме не более шайб. Но эта сумма в раза больше числа шайб, заброшенных в первом матче, значит, она делится на . Поэтому сумма не больше . Но во втором и четвёртом матче сумма на меньше, чем в первом и третьем, так что в первом и третьем сумма хотя бы .

Итак, сумма может быть равна только . Тогда во втором и четвёртом матчах «Метеор» забросил шайб, значит, он эти матчи выиграть не мог. А первый и третий он мог выиграть, например, со счётом и соответственно.

Если всего участников и победитель выиграл у всех, то он набрал очко. Всего разыграно очков. Отсюда

Если , то не выполняется условие задачи, потому что количество набранных очков – ноль. Ноль равен нулю, а не в пять раз меньше нуля.

Тогда разделим на и получим

Пусть в турнире участвовали девочек и мальчиков. Тогда девочки в партиях между собой набрали очков, а мальчики — Разница составляет очков. По условию мальчики и девочки в сумме набрали поровну. Значит, девочки набрали больше на очков в партиях между мальчиками и девочками. В этих партиях было всего разыграно очков, поэтому , то есть Но — натуральное число, и потому и неравенство обращается в равенство. Значит, в турнире участвовала одна девочка и три мальчика. Девочка набрала не менее очков, следовательно, она выиграла у всех мальчиков и заняла первое место.

Предположим, что такое могло случиться.

Если последняя команда обыграла трех призеров, то она набрала не менее очков. Так как все команды набрали разное число очков, то следующая команда набрала не менее , следующая — не менее , и так далее. Всего получается не меньше очков.

С другой стороны, всего было сыграно матбоёв и в каждом из них разыгрывалось по очка. Получили противоречие, что очков суммарно , но при этом не меньше .

Значит, такое невозможно.

Всего в турнире игр, и в каждой игре разыгрывается очка. Поэтому всего команды должны набрать очков. Команды помимо D набрали в сумме очков, значит, у D 4 очка. Это означает, что она заняла второе место.

Всего в турнире матчей. Поэтому как максимум в сумме может получиться очков. Но команды набрали на три очка меньше. Каждый раз, когда вместо победы происходит ничья, суммарное количество очков у команд уменьшается на 1. Поэтому, чтобы суммарное число очков уменьшилось на три, в турнире должно произойти ровно 3 ничьи.

Заметим, что между собой мальчики сыграли матчей. Поэтому в них они набрали в сумме хотя бы очков. Девочки же разыгрывают между собой очка, а также могут набрать как максимум очков в играх с мальчиками. В сумме получается не более очков, что меньше, чем минимальное количество очков, набранных мальчиками. Значит, равенства быть не могло.

Заметим, что при ничьей разыгрывается 4 очка, а при победе одной из команд — 5 очков. Количество очков, набранное суммарно командами в случае, когда во всех видах спорта кто-то побеждает, равно 50. В условии задачи очков 46, то есть на 4 меньше. При замене победы на ничью суммарное количество очков уменьшается на 1. Значит, в турнире было 4 ничьи.

В, Г и Д сыграли между собой 3 партии, разыграв 3 очка. Так как Б, занявший второе место, набрал больше них, то он набрал хотя бы 3,5 очка. Если бы он набрал 4, то он победил бы всех, а значит, занял бы первое место. Таким образом, Б набрал 3,5 очка. Тогда А, занявший первое место, набрал либо 4 очка, либо 3,5. Набрать 4 очка он не мог, так как тогда все остальные, в том числе Б, набрали бы не больше 3 очков. Поэтому у А тоже 3,5 очка. Значит, ни тот, ни другой не проигрывали. Тогда партия между ними могла закончиться только вничью.

Умножим все очки на 2 и будем считать, что шахматный турнир проходит по системе 2-1-0. На истинность заметки корреспондента это никак не влияет. В таком случае между командами случилось партий, в которых разыгрывалось очков.

Предположим, что корреспондент прав. Пусть некоторый шахматист выиграл партий. Тогда вничью он свел тоже , а очков набрал , так как количество поражений на очки не влияет. Таким образом, каждый шахматист набрал количество очков, делящееся на 3. Тогда и сумма всех очков должна делиться на 3, то 380 на 3 не делится, противоречие.

Четыре последних разыгрывали между собой очков, поэтому шахматист, занявший второе место, набрал не менее 6 очков. Если бы он набрал очков или более, то не могло бы быть шахматиста, который набрал больше него очков, что противоречит условию. Значит, второй набрал ровно 6 очков. Но тогда и последние четверо набрали ровно 6 очков. Значит, они не могли набирать очки в играх не друг с другом. Поэтому в партии третьего и седьмого шахматистов победил третий.

Так как команда, занявшая 7 место, набрала 21 очко, то 6-я команда набрала хотя бы 22 очка, пятая — хотя бы 23, и так далее до первой, набравшей хотя бы 27 очков. Сложим эти очки: очков. Всего же в турнире разыгрывается очков. Команды с 8 по 16-ю сыграли между собой игр, то есть разыграли хотя бы очка. В сумме . Таким образом, никакая из команд, занявших место выше 7-го, не могла набрать больше очков, иначе сумма очков, набранных всеми командами, стала бы больше 240. Поэтому первая команда набрала ровно 27 очков, значит, хотя бы в одной из своих игр она набрала нечетное число очков, то есть сыграла вничью.

Команда «Дельта» выиграла три игры, следовательно, набрала не меньше очков. Поэтому команды «Альфа», «Бета» и «Гамма» набрали не меньше 7 очков каждая. В трех играх друг с другом они в сумме набрали очков, поэтому хотя бы одна из них в этих играх набрала не больше очков. Отсюда следует, что были ещё минимум три других команды, игры с которыми позволили ей набрать ещё минимум очков. Следовательно, всего команд не меньше семи.
Пример турнира для 7 команд:

команда	А	Б			E	Z	H	о
А		1	2	0	2	2	2	9
Б	1		1	0	2	2	2	8
	0	1		0	2	2	2	7
	2	2	2		0	0	0	6
E	0	0	0	2		1	2	5
Z	0	0	0	2	1		1	4
H	0	0	0	2	0	1		3

Рассмотрим команды и одержавшие одинаковое число побед, и пусть в матче между ними победила команда Покажем, что обязательно найдется команда которая выиграла у команды но проиграла команде Рассмотрим все команды, у которых выиграла команда Среди них найдётся хотя бы одна команда, которая выиграла у команды так как в противном случае с учётом выигрыша у команды команда набрала бы больше очков, чем команда Таким образом, тройка команд удовлетворяет условию задачи.

Если команда набрала очка за игры, то либо она выиграла одну игру и проиграла две, либо же сыграла три игры вничью. Первый вариант невозможен, так как иначе было ещё две команды, которые набрали хотя бы по три очка (победив «Катрапс»), то есть «чистое» второе место мы бы не заняли. Значит было сыграно три игры вничью. Среди оставшихся трёх команд только одна могла побеждать, иначе бы опять хотя бы у двух команд было больше трёх очков. Более того, у команды на первом месте должно быть хотя бы очка, а значит одна победа у неё точно была. Итак, у команды на первом месте есть хотя бы очка, у «Катрапса» — , у -го и -го места по одному очку и осталась одна игра между победетилем и третьим или четвёртым место и игра между третьим и четвёртым местом. Игра между третьим и четвёртым местом не могла закончиться чьей-то победой, поэтому там точно была ничья, то есть у последних мест есть хотя бы по очка у каждой команды. Если же победитель сыграет с кем-то из оставшихся в ничью, то появится команда, у которой будет очка, что противоречит условие. Значит, последняя игра закончилась победой текущего первого места. В итоге команды набрали , , и очка.

Так как команда, занявшая место, набрала очко, то -я команда набрала хотя бы очка, пятая — хотя бы , и так далее до первой, набравшей хотя бы очков. Сложим эти очки: очков. Всего же в турнире разыгрывается очков. Команды с по -ю сыграли между собой игр, то есть разыграли хотя бы очка. В сумме . Таким образом, никакая из команд, занявших место выше -го, не могла набрать больше очков, иначе сумма очков, набранных всеми командами, стала бы больше Поэтому первая команда набрала ровно очков, значит, хотя бы в одной из своих игр она набрала нечетное число очков, то есть сыграла вничью.

Всего за турнир было сыграно игр. В каждой игре разыгрывалось либо 5 очков (в случае победы-поражения), либо 4 очка (в случае ничьей). Если бы все игры были сыграны вничью, то суммарное количество очков у всех участников равнялось бы что на 70 меньше, чем реальная сумма очков всех участников. В случае не ничейной игры два её участника суммарно получают на 1 очко больше, чем в случае ничейной игры. Это означает, что ровно 70 игр завершились победой одного из участников, а остальные 50 игр закончились вничью.

Предположим, что хотя бы 6 участников ни разу не сыграли вничью. Тогда ничейные партии могли пройти только между оставшимися 10 участниками, а всего они между собой сыграли игр, что меньше 50. Противоречие. Следовательно, не более 5 участников ни разу не сыграли вничью.

Нетрудно описать пример для 5 участников. Зафиксируем 11 участников, они сыграли между собой игр. Выберем любые 50 из этих игр, пусть они были сыграны вничью (ясно тогда, что каждый из зафиксированных 11 участников хотя бы раз сыграет вничью), а все остальные игры турнира закончились победой любого из участников. Следовательно, человек ни разу не сыграли вничью. Ясно, что все условия задачи выполняются.

Каждый участник выбывает, потерпев ровно два поражения. В ситуации, когда остались двое “финалистов”, общее количество поражений равно .

Если из турнира выбыло человек, то они суммарно потерпели поражений, а на счету “финалистов” поражений могло быть (у обоих “финалистов” не было поражений), (у одно из “финалистов” было поражение) или (у обоих “финалистов” было по одному поражению).

Учитывая, что и — чётные числа, уравнения и не имеют решений.

Приходим к уравнению , откуда , а общее количество участников равно