.17 Пределы последовательностей

Действительно, поскольку а то, просто по определению предела, начиная с какого-то момента мы будем попадать в любую -окрестность числа Но нам надо отступить от нуля, чтобы не получилось случайно, что знаменатели у слишком маленькие, то есть сами дроби - слишком большие. Поэтому пусть - расстояние от точки до нуля. Возьмём теперь в качестве число Тогда (по определению того, что ) мы заключаем, что такое, что или, переписывая это последнее неравенство:

Но мы тем самым отделили от нуля (так как числа и очевидно одного знака, то есть находятся по одну сторону от Если сомневаетесь, вспомните, что у нас и обозначало то есть расстояние от до нуля). Осталось только взять и перевернуть все члены неравенства (от этого и все знаки в неравенстве поменяются), и получить, что

Вот мы и ограничили последовательность начиная с . Но начальный её кусок, очевидно, ограничен в любом случае, потому что начальный кусок любой последовательности ограничен. Значит, она и вся целиком ограничена.