.17 Пределы последовательностей

a) Например, подойдёт такая: то есть где пробегает по всем натуральным числам.

Действительно, сверху она ограничена, например, числом . Снизу она, очевидно, не ограничена.

b) Например, годится последовательность (идущая по степеням двойки). Ясно, что она ограничена снизу, например, нулём. А сверху она уж точно никак не ограничена.

c) Рассмотрим два примера.
1. Первый пример - одновременно и дурацкий, и очень важный. Это так называемая константная последовательность, которая, грубо говоря, всё время стоит на месте: для какой-то фиксированной То есть все члены последовательности равны одному и тому же числу

Разумеется, она ограничена и сверху и снизу.

Другой пример: 2. Можно привести и более нетривиальный пример, например, последовательность Из школьной программы известно, что функция - ограничена сверху и снизу Значит, будет ограниченной и последовательность пробегающая по натуральным аргументам синуса.

d). Ясно, что нужно добиться того, чтобы наша последовательность всё время увеличивалась, притом и в положительную, и в отрицательную сторону. Для этого можно использовать стандартный приём, помогающий сделать последовательность, в которой положительные члены чередуются с отрицательными.
А именно, можно рассмотреть такой пример Это последовательность, идущая по натуральным числам, но чётные берутся со знаком а нечётные - со знаком Ясно, что она не может быть ограничена ни снизу, ни сверху, так как и чётные и нечётные числа неограниченно возрастают.