.17 Пределы последовательностей

a) Каким образом вообще у последовательности может не быть предела?
Например, она может болтаться и никогда не стремиться ни к какой точке. Самая простая "болталка" это последовательность
По чётным номерам она равна по нечётным Таким образом, ни ни не могут являться её пределами, поскольку (вспоминаем определение), и у той и у другой точки существует маленькая (достаточно взять радиус окрестности меньше ) окрестность, за пределами которой находится бесконечно много членов последовательности А именно - за пределами маленькой окрестности будут находиться все члены с нечётными номерами; за пределами маленькой окрестности числа - с чётными.

Контрольный вопрос: мы только что показали, что и не являются достойными кандидатами на предел последовательности Но почему все остальные кандидаты тоже не подходят?

Ещё один пример последовательности, которая не имеет предела, может выглядеть, например, так: Эта последовательность, нетрудно видеть, вообще неограниченно возрастает (одна из следующих задач будет говорить о том, что она в таком случае заведомо не может быть сходящейся). То есть она как бы "не накапливается" ни около какого числа. (В некотором смысле, она накапливается около и про такие последовательности, скорее неформально, мы будем говорить, что ).
Попробуйте произвести чуть более формальное доказательство, что у никакого предела быть не может.
b). Стандартный пример такой последовательности - это последовательность чисел, обратных к натуральным:
И так, конечно, ясно, что чем больше тем больше знаменатели дробей, и тем меньше сами дроби - они всё стремительнее и стремительнее приближаются к (но самому никогда равны не станут, впрочем, это не мешает последовательности стремиться к 0).
Если же мы хотим порассуждать чуть более строго, то, формально, по определению, чтобы доказать, что при то нужно доказать, что:

Минус ноль можно под модулем и не писать, и мы получаем, что нам нужно доказать, что:

Докажем это: Пусть нам дали какой-то конкретный Какой именно - мы не знаем, нам могли дать любой (как и написано в определении предела: и т.д.)
Итак, по этому самому нам надо научиться строить такой что при всех Полученное неравенство можно переписать так, раскрыв модуль: (т.к. всегда положительна, и модуль от неё раскрывается всегда с одним знаком). Как же научиться строить такое ?
Для этого сделаем такой не самый хитрый трюк: (и мы очень часто, когда будем искать предел по определению, будем делать именно так)

Найдём такое что Но это неравенство эквивалентно неравенству То есть чтобы надо взять любое натуральное число большее, чем
А далее мы замечаем такую простую вещь, что и при любых тем более будет выполняться неравенство (Если мы уже при сделали дробь меньше то, т.к. то дробь и того меньше, чем которая, в свою очередь, уже сделана меньше ).
Таким образом, мы умеем по любому определять, начиная с какого момента все члены последовательности будут попадать в -окрестность числа Значит, мы по определению проверили, что является её пределом.
c) Первая последовательность, которая может придти в голову в качестве тривиального примера - такая:

Короче говоря, это константная последовательность, которая при любом равна Разумеется, она подходит. Нетрудно проверить, что если последовательность для какой-то константы при любом то она будет сходящейся, и обязательно будет сходиться к этой самой константе (а куда ж ещё ей сходиться?!).

На самом деле, решив предыдущий пункт b), мы теперь в состоянии конструировать огромное количество сходящихся к чему угодно последовательностей.
Например, чтобы построить последовательность, сходящуюся к нужно просто взять какую-нибудь сходящуюся к последовательность, и добавить к ней (логично). Тогда такая сумма неизбежно будет сходиться к (Убедитесь в этом сами, просто проверив определение).

Таким образом, мы можем легко построить ещё парочку примеров, просто взяв, допустим и обе из которых, очевидно, сходятся к ( даже заметно быстрее, чем что в контексте нынешней задачи, впрочем, неважно). Ну и далее, остаётся к ним просто добавить число
Получим два таких примера: двух последовательностей, сходящихся к числу