.17 Пределы последовательностей

Доказательство проводится в 2 этапа:
1. Ограничим сначала бесконечный "хвост" последовательности А именно, раз уж нам дано, что сходится к то какую бы маленькую окрестность этого мы ни взяли (), "за бортом" этой окрестности окажется лишь конечное множество членов (). Сколь угодно маленькая нам здесь даже не нужна. Возьмем просто хоть какую-нибудь окрестность Допустим, окрестность радиуса (то есть ). Тогда, по определению того, что То есть рано или поздно, на мы заползём в единичную окрестность числа Значит, начиная с этого самого мы нашу окрестность тупо ограничиваем сверху - правым краем этой окрестности, снизу - левым краем. То есть, выполнено А что делать с начальным куском последовательности, то есть с теми её членами, номера которых меньше или равны ?
2. Начальный кусок на то и начальный, что в нём в любом случае содержится только конечное множество членов последовательности, а именно: Ясное дело, что среди них есть максимум и минимум:

Вот эти самые наш начальный кусок и ограничат.
Но мы-то хотели, вообще-то, ограничить всю последовательность, как говорят, равномерно. То есть не по отдельности начало её и бесконечный хвост. Мы хотели найти такие константы что Как это сделать? По сути, пункты 1 и 2 дают нам такую вот систему неравенств:

Как же нам ограничить всю ?. Ясное дело, взяв просто максимум из двух верхних и минимум из двух нижних границ, мы получим, что будет выполнено, что