.17 Пределы последовательностей

Можно заметить, что, например, хотя ограниченная последовательность и не имеет никакого предела, однако, если мы пройдёмся только по чётным её номерам, то получим такую последовательность: И эта подпоследовательность последовательности уже в свою очередь имеет предел, поскольку - это просто-напросто константная последовательность - она обязана сходиться к .

Кроме того, если мы пройдёмся по нечётным номерам последовательности то получим последовательность Такая тоже является константной последовательностью, а значит она тоже сходится, уже, в свою очередь, к Всё это неслучайно.
На самом деле, хотя по предыдущей задаче ограниченная последовательность и не обязана иметь предела, но из неё всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Докажите этот факт (если последовательность - ограничена, то из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность), известный под названием теоремы Больцано-Вейерштрасса, пройдя по следующим шагам доказательства:

1.

Мы знаем, что ограничена, значит, все её члены не вылазят за пределы какого-то отрезка

2.

Мы хотим выделить из сходящуюся подпоследовательность. Назовём её Первым элементом можно положить просто

3.

Помните, что в последовательности обязано содержаться бесконечное множество членов. Теперь делаем такой трюк, как деление отрезка пополам! А именно, поделим наш отрезок пополам точкой Поскольку в последовательности у нас бесконечное число членов, то хотя бы в одну половинку, левую или правую, попадёт бесконечное число членов последовательности Вот из этой половинки мы наугад и возьмём И запомним, из какой половинки мы взяли этот

4.

А теперь, эту половинку мы вновь разделим пополам (это уже будут две половинки от половинки, то есть четвертинки исходного отрезка ). Опять же, в одну из этих четвертинок попадает бесконечное множество членов последовательности Из этой четвертинки мы и возьмём но только важно следить, чтобы тот который стал теперь нашим имел больший номер, чем тот который стал нашим (потому что когда мы выбираем подпоследовательность, мы не имеет права переставлять местами члены исходной последовательности).

5.

И так далее...
Мы получим последовательность вложенных отрезков, длина которых стремится к И при этом каждый элемент подпоследовательности лежит в -ом маленьком отрезочке. Ясное дело, что будет сходиться ровно к той точке, к которой сужаются эти вложенные отрезки.

А теперь попробуйте доказать это более аккуратно и продумать все предыдущие шаги.