.17 Пределы последовательностей

Будем доказывать это утверждение от противного.
Пусть, наоборот, , но при этом .
Поскольку , то расстояние от числа до числа отлично от нуля.

А именно, пусть , и тогда очевидно, что что , именно из-за того, что - различные числа.

Далее, по определению предела, из того факта, что , найдём такое , что при всех будет выполнено .

Аналогично, по определению предела, из того факта, что , найдём такое , что при всех будет выполнено . То, что мы сейчас сделали, поясним на картинке.

Далее, возьмём , получим, что все члены последовательности с номерами должны удовлетворять и неравенству , то есть быть не дальше, чем на от числа , и неравенству , то есть быть не дальше, чем на от числа одновременно. Но это невозможно в силу того, что расстояние между числами и равно , значит любой член последовательности обязан быть либо не дальше чем на от числа , либо не дальше чем на от числа , но уж точно не одновременно.

Мы получили противоречие, следовательно, .