.17 Пределы последовательностей

Для начала, обсудим одну вспомогательную лемму, которая нам понадобится как в решении этой задачи, так и много где ещё в дальнейшем. Так что рекомендуется её продумать и запомнить. Лемма эта называется "неравенство треугольника" (подумайте, почему?).
Лемма. Для любых выполнено, что
Доказательство. Тут достаточно просто рассмотреть случаи в зависимости от знаков и

1.

Если и оба положительны или оба отрицательны, то есть, короче говоря, одного знака, то это неравенство просто обращается в равенство. Модули снимаются везде одинаково, и поэтому модуль от суммы будет просто равен самой сумме, либо минус сумме. В правой же части будет стоять то же самое, если раскрыть модуль.

2.

Если же разных знаков, то в левой части неравенства одно из них "отъест" часть другого, и поэтому она будет строго меньше, чем сумма модулей, потому что модули у них берутся по отдельности и в уничтожат один из минусов, который есть либо у либо у

Перейдём теперь к решению самой задачи. Итак, нам дано, что и то, что Для последовательности это означает, что какое бы нам ни дали, мы всегда по нему можем найти такой момент что начиная с него, то есть вся наша последовательность попадает в -окрестность числа То есть, начиная с этого будет выполняться неравенство
Аналогичным образом, мы по любому можем строить какое-то своё начиная с которого последовательность попадёт в -окрестность числа То есть, начиная с которого будет выполнено Получаем, таким образом, такую вот систему неравенств:

где и строятся по что и отражено в записи и
Ну и что нам теперь с этой системой делать? Вспомним, что мы вообще хотим доказать. Мы хотим доказать, что То есть, мы хотим по любому уметь строить такое что при всех будет выполняться, что На самом деле, у нас для этого уже всё готово.
Итак, пусть нам дали какое-то Мы сначала построим по нему и начиная с которых и соответственно попадают в -окрестности своего предела (как в системе неравенств выше). Далее, возьмём такое чтобы оба неравенства в нашей системе были выполнены одновременно. Подойдёт, самое простое, Таким образом, при всех будут выполнены оба неравенства системы, то есть, одновременно и будет в -окрестности числа и будет в -окрестности числа
А теперь, оценим то что мы на самом деле хотели сделать меньше этого Итак, при будет выполнено:

(именно здесь, внимание, мы и воспользовались неравенством треугольника в самом первом неравенстве! а второй переход объясняется просто тем, что оба условия нашей системы при выполнены)
Получается, мы умеем делать модуль разности меньше чем Но было вообще любым сколь угодно маленьким числом. Так что тоже можно сделать сколь угодно малым. Можно просто обозначить его за и сказать, что мы умеем делать модуль разности меньше любого наперёд заданного начиная с какого-то номера (алгоритм его построения мы описали выше).
Вот мы и доказали по определению, что