.17 Пределы последовательностей

Докажем, для начала, одну вспомогательную лемму.
Лемма. Если и то - ограничена.

Доказательство. Действительно, поскольку а то, просто по определению предела, начиная с какого-то момента мы будем попадать в любую -окрестность числа Но нам надо отступить от нуля, чтобы не получилось случайно, что знаменатели у слишком маленькие, то есть сами дроби - слишком большие. Поэтому пусть - расстояние от точки до нуля. Возьмём теперь в качестве число Тогда (по определению того, что ) такое, что или, переписывая это последнее неравенство:

Но мы тем самым отделили от нуля (так как числа и очевидно одного знака, то есть находятся по одну сторону от Если сомневаетесь, вспомните, что у нас и обозначало то есть расстояние от до нуля). Осталось только взять и перевернуть все члены неравенства (от этого и все знаки в неравенстве поменяются), и получить, что

Вот мы и ограничили последовательность Лемма доказана.

Перейдём теперь к основному утверждению задачи.

Доказательство утверждения.
Докажем, сначала, что будет стремиться к
Действительно, для этого достаточно установить, что - бесконечно малая. Или, приводя к одному знаменателю, что - бесконечно малая. Но наша дробь представляется попросту в виде произведения:

Первый член произведения - бесконечно малая (т.к. нам дано, что стремится к ). Второй член произведения, то есть - ограничен по лемме, которую мы только что доказали. Значит, мы имеем произведение бесконечно малой на ограниченную - это произведение тоже бесконечно мало. Значит, действительно стремится к

А значит, если мы возьмём то эту дробь можно рассмотреть как произведение Первый сомножитель здесь по тому, что нам дано, стремится к а второй, по тому, что мы только что доказали, стремится к Значит, всё наше выражение стремится к (теорема о пределе частного.)