.17 Пределы последовательностей

a) В подобных примерах, то есть когда мы встречаемся с пределом, в котором один многочлен делится на какой-то другой многочлен, очень частым "трюком"на самом деле, когда вы к нему привыкнете, для вас он перестанет быть трюком и будет просто обыденным приёмом) является поделить и числитель и знаменатель на максимальную степень, в которой входит в нашу дробь. В данном случае мы будем делить на (Суть в том, что мы хотим узнать, кто на бежит быстрее: числитель или знаменатель. А узнать это проще всего как раз поделив на максимальную степень.)

Таким образом, имеем: Мы видим, что числитель нашей дроби стремится к в то время как знаменатель представляет из себя сумму и бесконечно малой то есть стремится к Таким образом, пользуясь утверждением о пределе частного, получаем, что:
b) Давайте немного преобразуем наше выражение стоящее под знаком предела. А именно:
Откуда уже нетрудно понять, что знаменатель будет стремиться к а значит вся дробь будет стремиться к Значит,
c) Здесь делаем то же самое, что и в пункте a). То есть, в данном случае делим и числитель и знаменатель

Таким образом,
d) Легко видеть, что первый сомножитель стремится к 4:
А второй сомножитель стремится к :
Таким образом, из-за того, что предел произведения равен произведению пределов, мы имеем, что

e) Давайте здесь разделим и числитель и знаменатель первого сомножителя на
Тогда числитель нашей дроби превращается в Видно, что он стремится к (Потому что мы имеем сумму и двух бесконечно малых. Обращаем внимание, что стремится к т.к. показательная функция растёт быстрее степенной - мы это докажем более строго в одной из последующих задач).
В свою очередь в знаменателе будут одни сплошные бесконечно малые. Он будет равен Первое слагаемое стремится к по предыдущему пункту, а остальные - бесконечно малые по очевидным причинам.

Следовательно, первый сомножитель неограничен.

Второй сомножитель по теореме о сумме пределов сходится к 11. Следовательно, произведение их будет неограничено и поэтому никакого предела иметь не будет.