.17 Пределы последовательностей

a) Понятно, что должно расти медленнее, чем поскольку - это произведение двоек, а - это произведение чисел, которые почти все больше двойки. Попробуем теперь превратить эту идею в аккуратное доказательство:
Во-первых, идея наша здесь будет в том, чтобы оценить сверху нашу последовательность чем-то, что заведомо стремится к И вот как мы это сделаем.

Поясним переход с неравенством: мы заменили все серединные члены в дроби то есть члены вида на от чего произведение, разумеется, увеличилось, потому что все эти члены, как легко видеть, меньше (в числителях у нас стоят одни двойки, а в знаменателях - числа от до ).

Таким образом, мы получили, что, где Значит, и наша последовательность стремится к
b) Нас просят посчитать то есть предел последовательности, которая представляет собой значения функции синус в натуральных точках. Естественной гипотезой было бы то, что такая последовательность не может иметь предела, поскольку синус - это что-то постоянно болтающееся и ни к чему на бесконечности не стремящееся.
Попробуем воплотить эту идею в доказательство.
Давайте попробуем доказать от противного, что последовательность предела не имеет. То есть, предположим, что всё таки
Но тогда, разумеется, и (мы начали просто идти не с первого члена последовательности, а со второго), и точно так же Ну а значит
Однако вспомним немного школьную тригонометрию. А именно, формулу разности синусов:

Ну а раз так, то То есть, получается, что
Но - это просто какая-то ненулевая константа. Значит, мы получаем, что обязательно
В то же время, т.к. второй сомножитель стремится к а первый - ограничен. Значит, Но значит и сам должен стремиться к

И всё, что нам осталось сделать - это вспомнить основное тригонометрическое тождество:

Но мы только что доказали, что и одновременно с этим Однако, по основному тригонометрическому тождеству, их сумма при любом должна быть равна Значит оба одновременно они к стремиться к не могут. Противоречие с предположением, что Значит, никакого предела у последовательности существовать не могло.
c) Первое, что мы заметим - это то, что последовательность ограничена по модулю то есть
Далее, представим нашу последовательность в виде Исследуем отдельно первый сомножитель Вновь поделим на самую большую степень, с которой входит во всю дробь. В данном случае делить мы будем на то есть на в первой степени. Итак, = У этой дроби, очевидно, числитель стремится к а знаменатель - к Значит, по свойству, что предел отношения равен отношению пределов, вся дробь стремится к А значит, как произведение бесконечно малой на ограниченную.
d) Мы уже научены опытом, что в таких случаях всё будет решать то, какие коэффициенты стоят при старших членах в числителе и в знаменателе.
После раскрытия скобок в числителе старший член будет а в знаменателе старший член, тоже после раскрытия скобок, будет Значит, после того как мы поделим и числитель и знаменатель всей дроби на окажется, что предел её равен
e) И вновь интуиция должна подсказать нам поделить и числитель и знаменатель на максимальную - но теперь уже не степень а выражение с максимальным основанием степени, то есть поделить числитель и знаменатель на Что же из этого получится?

В числителе мы имеем сумму где первое слагаемое - бесконечно малая (по сути это частный случай последовательностей типа которые всегда стремятся к ), значит, числитель здесь стремится к Знаменатель, по аналогичным соображениям, это произведение бесконечно малой на - всё равно бесконечно малая, плюс Значит, знаменатель стремится к Значит, по вся дробь стремится к отношению пределов числителя и знаменателя, то есть к Итого, мы получили, что