.17 Пределы последовательностей

a) Мы имеем классический пример отношения многочленов. Поведение такой последовательности определяется старшими степенями числителя и знаменателя. У числителя в нашем случае старшая степень а у знаменателя

Значит, поскольку знаменатель стремится к бесконечности быстрее числителя, то у нас рождается гипотеза, что Попробуем её доказать, поделив на этот старший член :

Последний предельный переход у нас получается в силу теоремы о пределе частного (числитель стремится очевидно к а знаменатель - к минус Значит, вся дробь стремится к

b) Немного преобразуем наше выражение, разделив вновь всё на старшую степень среди всех степеней, встречающихся в дроби. В данном случае делить будем на :

Итак, мы имеем произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую (она бесконечно мала, т.к. подпадает под Пример 4 из раздела Последовательности и их пределы - это по сути константа, делённая на бесконечно большую последовательность )

Таким образом, наша последовательность стремится к т.к. является произведением бесконечно малой на ограниченную.

c) Здесь нужно просто поделить на выражение с максимальным основанием степени, то есть на (или на - это тоже сработало бы). Выполним указанное преобразование и получим:

Здесь мы воспользовались утверждением о пределе отношения и о том, что любая последовательность вида где стремится к

d) Воспользовавшись теоремой о пределе произведения, получим, что первый сомножитель стремится к второй - к (достаточно там и числитель и знаменатель поделить на ), а, значит, всё произведение стремится к

e) Здесь надо сначала воспользоваться теоремой о пределе частного для каждого из трёх отдельных слагаемых, а затем теоремой о пределе суммы.
Итак, первое слагаемое (это видно, если поделить и числитель и знаменатель на ) стремится к Второе слагаемое, в свою очередь, стремится к А третье и вовсе бесконечно мало, так как там степень числителя на единичку меньше степени знаменателя.
Итого, предел суммы трёх дробей равен

f) Понятно, что должно расти медленнее, чем поскольку - это произведение двоек, а - это произведение чисел, которые почти все больше двойки. Попробуем теперь превратить эту идею в аккуратное доказательство:
Во-первых, идея наша здесь будет в том, чтобы оценить сверху нашу последовательность чем-то, что заведомо стремится к И вот как мы это сделаем.

Поясним переход с неравенством: мы заменили все серединные члены в дроби то есть члены вида на от чего произведение, разумеется, увеличилось, потому что все эти члены, как легко видеть, меньше (в числителях у нас стоят одни двойки, а в знаменателях - числа от до ).

Таким образом, мы получили, что, где Значит, и наша последовательность стремится к