.17 Пределы последовательностей

a) Начнём с последовательности . Обозначим её за . То есть . Утверждается, что в таком случае никогда не будет иметь предела.

А именно, будем рассуждать от противного. Пусть - имеет предел. Но тогда . Тогда имеет предел по предположению, имеет предел по условию, следовательно, по теореме о пределе суммы, - тоже должна иметь предел. Но по условию предела не имеет. Получили противоречие. Следовательно, наше предположение было ошибочно, и никак не может иметь предела.

Далее, пусть . Тут уже не всё так однозначно.

Если предположить, что имеет предел, который не равен нулю, то тогда произведение совершенно точно не будет иметь предела.

Действительно, если бы он существовал, то тогда существовал бы и предел последовательности по теореме о пределе частного (здесь мы пользуемся явно тем, что знаменатель не стремится к нулю).

Однакого этого не может быть по предположению, коль скоро

Если же ничего не известно о том, к чему сходится , к нулю или нет, то ничего заранее сказать нельзя. А именно, такое произведение может как сходиться, так и расходиться (постройте соответствующие примеры!).

b) В данном случае сумма может как иметь, так и не иметь предел. Например, если , , то нетрудно понять, что их сумма , то есть сумма - это константная последовательность, равная всё время нулю, следовательно .

С другой стороны, если взять , , то , и она предела не имеет, колебаясь всё время между 2 и .

А что с произведением? То же самое. Произведение тоже может как иметь, так и не иметь предела.

Например, если , , то их произведение - не имеет предела, поскольку даже неограничена. В то же время если , то их произведение равно - эта последовательность всегда равна единице, а, значит, сходится.