.17 Пределы последовательностей

Мы видим, что наша последовательность представлена в виде произведения:

Рассмотрим сначала последовательность Когда мы сталкиваемся с подобными выражениями, то есть с выражениями, содержащими корни, мы тут же должны попробовать домножить и поделить на сопряженное, поскольку очень часто это упрощает дело.

В данном случае, нам нужно сопряженное к кубическим корням, то есть нужно вспомнить школьную формулу разности кубов: В нашем случае Таким образом, нам по идее должно помочь домножение и деление на

Итак, наша тогда преобразуется к виду:

=

Таким образом, нетрудно видеть, что числитель - это константа, а знаменатель стремится к значит, обязана стремиться к

В свою очередь, является ограниченной последовательностью, поскольку она пробегает по некоторым значениям ограниченной функции умноженной на То есть, можно сказать, что заведомо ограничена сверху числом а снизу
Тем самым, наша исходная последовательность

является произведением бесконечно малой на ограниченную тем самым, она бесконечно малая. То есть,