.17 Пределы последовательностей

a) Представим для удобства нашу последовательность в виде (понятно, что это одно и то же, что и было в исходном условии). Но тогда потому что какое бы нам ни дали, мы всегда можем найти такое что при всех будет
А именно, достаточно в последнем неравенстве просто выразить :
Значит, в нашем случае достаточно взять равный целой части, округлённой вверх, от числа
b) Поделим и числитель и знаменатель на и получим: А теперь видно, что и числитель и знаменатель стремятся к Значит, по теореме о пределе дроби, имеем, что
Чтобы найти такое которое нас просят, достаточно в неравенстве выразить
Попробуем: Значит, в качестве возьмём округлённую вверх целую часть от В нашем случае это будет
c) Видно, что у нас произведение бесконечно малой на ограниченную сверху и снизу единицей Тогда по теореме о том, что произведение бесконечно малой на ограниченную - бесконечно малая. Таким образом,
Ну а раз ограничена сверху единицей, а снизу минус единицей, то значит в качестве мы берём то, которое годилось и для то есть целую часть от округлённую вверх. В нашем случае это будет
d) Поделим и числитель и знаменатель на и получим, что (по теореме о пределе отношения). А поскольку числитель наших дробей (после деления на ) меньше, скажем, то: И если мы хотим вот это последнее выражение сделать меньше любого то достаточно опять выразить в неравенстве
нашем случае это будет