.17 Пределы последовательностей

1. Здесь фактически записано то, что последовательность стремится к числу 2. Но это, очевидно, неверно, поскольку вообще неограниченно возрастает. Никакого предела у неё, тем самым, нет. Утверждение ложно.

2. Это хотя и ослабленное относительно пункта 1 утверждение, но оно всё ещё неверно. Никакой указанной в условии -окрестности у числа 2 не может найтись. То есть, в условии сказано, что начиная с какого-то момента все члены последовательности должны в эту -окрестность попадать. Однако, мы для любого фиксированного всегда можно подобрать такое что Это всё потому, что как видно, неограниченно возрастает (это сумма бесконечно малой и неограниченно возрастающей к )

3. Когда у нас одни сплошные кванторы существования, то утверждение становится очевидно верным. Возьмём (оно явно больше, чем ). Тогда, конечно, всё будет выполнено, поскольку и тогда ясно, что истинно утверждение то есть

4. Это как раз и означает, что наша последовательность условно говоря, стремится к Как это показать?
Ну, пускай нам дают какое-то Как найти тот момент (), начиная с которого () наша последовательность по модулю будет всегда больше ()? Давайте попробуем решить неравенство относительно :

Таким образом, начиная с ближайшего натурального которое больше, чем наша последовательность будет заведомо больше любого наперёд заданного (Случаи отрицательного тривиальны, поскольку все члены нашей последовательности очевидно больше всех отрицательных чисел. Случай когда тоже решается просто, наша последовательность больше таких уже начиная со второго члена. А случай мы только что разобрали).
Тем самым, это утверждение верно.

5. Давайте проверим непосредственно: Тогда неравенство из условия эквивалентно тому, что Давайте проанализируем:

Далее, поскольку то знаменатель дроби то есть выражение заведомо Значит, вся дробь, наоборот, меньше То есть мы из двойки вычитаем что-то, что меньше по модулю Конечно, мы всегда будем получать только положительные числа. Таким образом, мы поняли, что то есть, иными словами, Значит, это утверждение истинно.

6. Это означало бы, что наша последовательность ограничена этим самым числом Но в пункте 4 мы уже показали, что наша последовательность неограниченно возрастает, и даже расходится к Значит, это утверждение точно ложно.