.17 Пределы последовательностей

a) Попробуем доказать, что данная последовательность сходится при помощи теоремы Вейерштрасса.

Для этого достаточно показать, что:
1. - ограничена сверху;
2. - монотонно возрастает.

1. Докажем, что последовательность Это можно доказать по индукции: база индукции очевидно выполнена ().

Далее, проведём шаг индукции. Пусть при всех верно, что Тогда

Таким образом, нам с вами удалось показать, что Значит, мы проверили ограниченность последовательности
2. Монотонность. Действительно,



Давайте проанализируем, какой знак будет иметь дробь
Во-первых, поскольку то знаменатель заведомо положительный. Первый сомножитель в числителе тоже положительный, а вот второй сомножитель числителя, а именно положителен в силу оценки, которые мы доказали в пункте 1. ().
Следовательно, и вся дробь строго положительна. Но поскольку то это означает, что То есть последовательность строго возрастает.

Итак, мы получили, что - ограничена сверху и - монотонно возрастает. Следовательно, по теореме Вейерштрасса мы можем заключить, что

b) Для того чтобы вычислить предел достаточно лишь в её рекуррентном задании

перейти к пределу при По пункту a) у есть предел. Обозначим его Но тогда ясно, что поскольку - это та же самая только начиная со второго номера, а не с первого. Но тогда левая часть в равенстве стремится к а правая к То есть мы получили соотношение

Откуда, возводя в квадрат, получаем, что Это квадратное уравнение имеет два корня
Однако отрицательный корень нам не подходит в силу того, что потому что - это предел которая, очевидно, неотрицательна. Поэтому ответ получается такой: