.17 Пределы последовательностей

Попробуем доказать, что данная последовательность сходится при помощи теоремы Вейерштрасса.

Для этого достаточно показать, что:
1. - ограничена снизу;
2. - монотонно убывает.

Докажем вначале вспомогательное утверждение. А именно, докажем по теореме Вейерштрасса, что существует где

1. Чтобы показать, что убывает, достаточно показать, что выполнено, что Покажем это







Следовательно, мы доказали, что убывает.

2. Очевидно, что последовательность Значит, она ограничена снизу.

Тем самым, по теореме Вейерштрасса,

Но тогда обязан существовать и предел коль скоро

А значит - по теореме о пределе произведения (второй сомножитель очевидно, стремится к 1).

Комментарий: этот самый предел он же и предел называется числом (основание натурального логарифма) и равен примерно