.17 Пределы последовательностей

a) Разделим и числитель и знаменатель на самую старшую степень, то есть на :

Ясно, что числитель стремиться к нулю, поскольку последовательность есть константа, делённая на бесконечно большую.

Далее, знаменатель есть . Ясно, что константа 1 стремится к 1, и - стремятся к нулю, поскольку они есть константы, делённые на бесконечно большую. Следовательно, по теореме о пределе суммы, знаменатель стремится к .

Но тогда по теореме о пределе частного, вся дробь стремится к . Таким образом,

b) Здесь, конечно, тоже можно разделить на самую старшую степень, то есть на , но тогда, как нетрудно сообразить, наш знаменатель будет стремиться к нулю, а это нехорошо - тогда теорема о пределе частного будет неприменима. Давайте лучше здесь разделим и числитель и знаменатель на :

Ясно, что тогда знаменатель стремиться к по теореме о пределе суммы. Ведь знаменатель имеет вид , а обе и стремятся к нулю как константы, делённые на бесконечно большую.

А вот числитель, как нетрудно видеть, расходится к , поскольку он имеет вид .

Два последних слагаемых по аналогичным причинам стремятся к нулю. А вот первые два неограниченно возрастают с ростом . Значит весь числитель будет рано или поздно любой наперёд заданной константы . Следовательно, числитель расходится к , а знаменатель стремится к . Следовательно, вся дробь будет расходиться к . Таким образом, предела исходного выражения не существует.

с) Поделим всё на самую старшую степень, то есть на :

И нетрудно видеть, что в числителе стоит сумма трёх бесконечно малых (как отношение константы к бесконечно большой), следовательно, по теореме о пределе суммы числитель стремится к 0. Также видно, что в знаменателе стоит бесконечно малая . Следовательно, знаменатель стремится к 1.

Таким образом, по теореме о пределе частного, вся дробь стремится к отношению пределов числителя и знаменателя, то есть к .

Таким образом,

d) Если взять модули нашей последовательности , то получится, что - это уже известно.

Но раз по модулю стремиться к нулю, то она и просто стремиться к нулю (стремление последовательности к нулю и стремление её модуля к нулю эквивалентны). Следовательно,

e) Ясно, что первый сомножитель стремится к 4 (по теореме о пределе суммы, впедь вычитаемое очевидно стремится к нулю как отношение константы к бесконечно малой), а второй сомножитель стремится к 5, поскольку - числитель стремится к 10, а знаменатель к 2, значит вся дробь стремится к 5.

Таким образом, по теореме о пределе произведения

f) Если разделить и числитель и знаменатель на , то получим:

И видно, что числитель стремится к 120, а знаменатель - к 15. Следовательно, по теореме о пределе частного, имеем:

g) Ясно, что последовательность - ограничена (т.к. функция - ограничена).
Но мы ведь домножаем эту последовательность на Покажем, что - бесконечно малая.
Действительно, поделим и числитель и знаменатель вновь на наибольшую степень, то есть на и тогда получится, что Видно, что здесь у нас числитель стремится к т.к. - это просто домноженная на коэффициент бесконечно малая
Знаменатель же, то есть стремится к Значит, вся дробь стремится к

h) И вновь интуиция должна подсказать нам поделить и числитель и знаменатель на максимальную - но теперь уже не степень а выражение с максимальным основанием степени, то есть поделить числитель и знаменатель на Что же из этого получится?

В числителе мы имеем сумму где первое слагаемое - бесконечно малая (по сути это частный случай последовательностей типа которые всегда стремятся к ), значит, числитель здесь стремится к Знаменатель, по аналогичным соображениям, это произведение бесконечно малой на - всё равно бесконечно малая, плюс Значит, знаменатель стремится к Значит, по вся дробь стремится к отношению пределов числителя и знаменателя, то есть к Итого, мы получили, что