.17 Пределы последовательностей

a) Не обязательно. Возьмём, например, последовательность , заданную правилом:

То есть - это такая последовательность, что все её четные члены всегда равны единице, а по нечётным членам она равна квадрату номера этого члена.

Тогда ясно, что - неограничена, поскольку по нечётным номерам она может быть сделана сколь угодно большой. Однако такая последовательность не будет бесконечно большой, поскольку для этого нужно было бы, чтобы начиная с некоторого номера все её члены были больше любой наперёд заданной константы. Однако нам будут мешать члены с чётными номерами - они всегда равны 1 и, значит, не будут больше любой наперёд заданной константы.

b) Да, это обязательно, потому что если последовательность бесконечно большая, но какое бы мы ни взяли, то найдётся такое , что для всех выполнено . Отсюда следует, что какое бы мы ни взяли, найдётся такое , что (на самом деле таких номеров будет, очевидно, бесконечно много). Следовательно, если последовательность бесконечно большая, то она неограничена.

c) Да, это возможно. Рассмотрим, например, последовательность .

Эта последовательность при чётных равна этому , а при нечётных равна . Она бесконечно большая, но не расходится к плюс бесконечности, потому что неверно, что все её члены начиная с какого-то момента больше любой наперёд заданной положительной константы - поскольку члены с нечётными номерами у неё отрицательны. По аналогичным причинам, она не расходится к минус бесконечности, поскольку члены с чётными номерами у неё положительны.