.17 Пределы последовательностей

Поскольку - это произведение всех чисел от 1 до , то ясно, что больше, чем произведение не всех чисел от 1 до , а только второй половинки этих чисел, то есть произведение чисел от до , если - чётно, и произведение от , если - нечётно. Так что можно записать вот такую простенькую оценку:

Теперь давайте и в том и в другом случае поменяем в произведении все числа на самое маленькое, то есть либо на , в случае чётного , либо на в случае нечётного . Получим такую оценку:

Теперь применим к обеим частям корень ой степени (он, очевидно, сохраняет неравенство):

Но ясно, что итого мы в любом случае получаем, что всегда больше последовательности, которая расходится к . Значит и сама последовательность расходится к .