.17 Пределы последовательностей

a) Оценим разность .

Нам дано, что . И пусть - любое сколь угодно малое положительное число.

Тогда из определения предела следует, что можно найти такое , что при всех выполнено .

Тогда при всех :

Рассмотрим теперь две получившиеся группы слагаемых. Первоая группа

содержит в своём знаменателе конечное число слагаемых, индексы которых пробегают от до - при фиксированном , поэтому при будет стремиться к нулю.

Вторая группа

содержит разности с индексами, большими чем , а значит для них . Таким образом, вторую группу можно оценить как

Получается, что вторая группа не превосходит минус , но это вычитаемое, очевидно, стремится к нулю при и фиксированных и .

Следовательно, вторая группа слагаемых может быть сделана меньше любого произвольного при достаточно больших .

Получаем, что и вся разность может быть сделана меньше любого при достаточно больших .

Следовательно, .

b) Пусть . Эта последовательность не имеет предела.

Но однако для неё

И поэтому , очевидно, будет иметь предел, равный нулю.