.17 Пределы последовательностей

1. Ограниченность можно доказать, составив рекуррентную формулу для . Ясно, что

Докажем по индукции, что для любого : база индукции очевидно выполнена ().

Далее, проведём шаг индукции. Пусть при всех верно, что Тогда

Таким образом, нам с вами удалось показать, что Значит, мы проверили ограниченность последовательности

2. Монотонность. Действительно,



Давайте проанализируем, какой знак будет иметь дробь
Во-первых, поскольку то знаменатель заведомо положительный. Первый сомножитель в числителе тоже положительный, а вот второй сомножитель числителя, а именно положителен в силу оценки, которые мы доказали в пункте 1. ().
Следовательно, и вся дробь строго положительна. Но поскольку то это означает, что То есть последовательность строго возрастает.

Итак, мы получили, что - ограничена сверху и - монотонно возрастает. Следовательно, по теореме Вейерштрасса мы можем заключить, что