Тема Десятичная запись и цифры

Работа с длинными числами

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела десятичная запись и цифры

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#34656Максимум баллов за задание: 7

Найдите число $ab,$ если известно, что число

2◟011..◝◜.2011◞a2011b2◟011..◝.◜2011◞ 101раз 101 paз

делится на $99.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нас спрашивают о делимости, значит, стоит подумать, а какие признаки или свойства делимости могут нам помочь.

Подсказка 2

99=9*11, значит, нужны свойства делимости на 9 и 11. Что нужно, чтобы их применить?

Подсказка 3

Нам нужны сумма цифр и знакочередующаяся сумма цифр. Можно разобраться с ними по очереди. Считать все это будет весьма неприятно, поэтому, может быть, можно сделать что-то, что максимально сократит вычисления?

Подсказка 4

Подумайте, может, какое-то действие будет повторяться сразу много раз, причем одинаково? Возможно, их можно как-то объединить между собой?

Подсказка 5

Если идти по порядку, нас много раз будет записано "2+0+1+1", значит, достаточно знать, сколько раз это будет сделано! Теперь все, что нам нужно — это подобрать такие a и b, при подстановке которых исходное число будет делиться на 9 и 11. Раз мы говорим о делимости, то, может, можно записать суммы как-то иначе?

Подсказка 6

Вспомним об арифметике остатков! Значит, можем найти, какой остаток будет давать сумма а и b при делении на 9.

Подсказка 7

Не забывайте, что а и b — это цифры, значит, какие значения может принимать их сумма?

Подсказка 8

Теперь сделаем все то же самое для 11, только на это раз с чередованием знаков — снова заметим некоторую закономерность и воспользуемся арифметикой остатков, но теперь сможем определить значение разности а и b.

Подсказка 9

Осталось перебрать варианты сочетания суммы и разности, не забыв, что вы ищете именно цифры.

Показать ответ и решение

Данное число должно делиться на $9,$ то есть иметь сумму цифр, кратную $9,$ и делиться на $11,$ то есть иметь знакочередующуюся сумму цифр, кратную $11.$

Сумма цифр числа равна

203⋅(2+ 0+1 +1)+ a+b ≡5⋅4+ a+ b≡ 2+ a+b (mod 9)

Значит, $a+ b≡7 (mod 9),$ то есть $a +b= 7$ или $a+ b=16,$ так как $a$ и $b$ — цифры.

Знакочередующаяся сумма равна

(2− 0+ 1− 1)+ (2 − 0+ 1− 1)+...+

+ (2 − 0+ 1− 1)+(a− 2+0 − 1+ 1− b)+ (2− 0 +1− 1)+...+(2− 0+ 1− 1)=

= 2⋅101+ (a− b− 2)+2⋅101≡ 2⋅2+(a− b− 2)+ 2⋅2≡ 6+ a− b (mod 11)

то есть $a− b≡ 5 (mod 11).$ Так как $a$ и $b$ — цифры, то $a− b=5$ или $a− b= −6.$ Из первого ограничения на $a$ и $b$ ( $a+ b= 7$ или $a+ b= 16$ ) мы знаем, что $a$ и $b$ или разной четности, или одной четности соответственно, а значит, $a− b= 5$ и $a+b =7$ или $a− b= −6$ и $a+ b= 16.$

Тогда

({ a+ b= 7 (a− b= 5

( {a+ b= 7 (2a= 12

( {a =6 (b =1

или

({a +b= 16 ( a − b= −6

( { a+b =16 ( 2a =10

( {a= 5 (b= 11

Но $b$ — цифра, значит, вторая система не имеет решений. Получили единственное решение: $a = 6,b= 1.$

Ответ:

$61$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#78092Максимум баллов за задание: 7

В строку без пробелов в порядке возрастания выписали все натуральные числа от $1$ до $100002,$ получилась десятичная запись огромного числа. Докажите, что для каждого двузначного простого числа $p$ можно в этом огромном числе заменить нулями две соседние цифры так, чтобы полученное число делилось на $p.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очевидно, что для каждого p мы не сможем найти искомые 2 цифры, надо действовать в общем виде. Пусть cd (двузначное число, состоящее из цифр c, d) является остатком при делении на p нашего записанного числа. Верно ли, что мы сможем найти в записи нашего числа довольно много раз двузначное число cd?

Подсказка 2

Да, например, когда мы выписывали пятизначные числа, то записывали подряд числа 9cd00, 9cd01, 9cd02, ..., 9cd99. Что будет, если заменить какой-то из cd этих фрагментов, на сколько уменьшится изначальное число? Нужно записать в общем виде, ведь речь о каком-то из ста фрагментов.

Подсказка 3

Число уменьшится на cd*10^(5k), ведь количество знаков после замененного cd будет делиться на 5. Если мы докажем, что существует такое k, что (10⁵)^k сравнимо с единицей по модулю p, то задача решена!

Подсказка 4

Осталось понять, что для k у нас сто подряд идущих возможных значений, мы почти у цели!

Показать доказательство

Обозначим выписанное число через $N.$ Пусть $cd-$ — это остаток от деления $N$ на $p$ (цифры $c,d$ могут быть нулями). Тогда будем рассматривать $100$ фрагментов десятичной записи числа $N,$ соответствующие пятизначным числам вида $----- 9cdyz.$ Эти фрагменты расположены в записи числа $N$ подряд, причем для каждого из фрагментов количество знаков после $-- cd$ кратно пяти, так как после $-- cd$ в записи числа $N$ идут две цифры $x$ и $y$ рассматриваемого фрагмента, потом идет много групп по $5$ цифр, соответствующих пятизначным числам, а потом — еще три шестизначных числа ( $100000,100 001$ и $100002$ ).

Если мы заменим один из фрагментов $-- cd$ двумя нулями, число $N$ в результате этой замены уменьшится на $-- 5k cd⋅10 .$ Осталось выбрать тот фрагмент $-- cd,$ для которого множитель $5k (10)$ дает остаток $1$ при делении на $p,$ — тогда разность

-- N −cd⋅105k

будет делиться на $p,$ что нам и требуется. Этот выбор возможен, так как мы выбираем из $100$ подряд идущих значений показателя степени $k,$ а остатки $5 10$ по модулю $p$ образуют чисто периодическую последовательность с периодом не больше $p− 1< 100.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#61458Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что если в числе $12008$ между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на $19.$

Источники: ММО-1995, 9.1, (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим число вообще без троек, оно подходит. Если добавить тройку, будет ли оно также подходить? А если еще тройку?

Подсказка 2

Попробуем доказать, что, дописывая тройку, мы сохраняем делимость на 19. На что стоит посмотреть, когда рассматриваем два числа, которые должны делиться оба на какое-то простое p?

Подсказка 3

Да, на их разность, которая тоже делится на p. Осталось эту делимость доказать и вуаля - задача решена!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Докажем утверждение методом математической индукции.

База индукции: $12008$ делится на $19$ . Действительно, $12008= 19⋅632$ .

Шаг индукции: покажем, что если число указанного вида делится на $19$ , то и следующее за ним делится на $19.$

Для этого достаточно доказать, что разность двух соседних чисел делится на $19.$ В самом деле:

120k3..тр.о.ек.308− 120k3−.1..т.р..ой.к.3а08= (1203− 120)⋅10k+1.

Эта разность делится на $19$ , так как $1203− 120= 1083= 19 ⋅57.$

Второе решение.

Вставим произвольное число троек, получим $n= 1203...308$ , умножим это число на $3$ , получится $3609...924$ . Нам требуется доказать, что это число кратно $19$ (умножение на $3$ на это свойство никак не влияет).

Добавим к полученному числу $95= 19⋅5$ (очевидно, что на делимость это тоже не влияет), имеем $3610...019= 361 ⋅10k+2+ 19$ , которое кратно $19$ ( $361= 192$ ).

Ответ:

что и требовалось доказать

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#81747Максимум баллов за задание: 7

В десятичной записи целого числа $A$ все цифры, кроме первой и последней, нули, первая и последняя – не нули, число цифр – не меньше трёх. Доказать, что $A$ не является точным квадратом.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пойдем от противного: предположим, что А является точным квадратом.

Подсказка 2

Что можно сказать о последней цифре А?

Подсказка 3

Докажите, что А может оканчиваться только на 1, 4 или 9.

Подсказка 4

Рассмотрите квадратный корень последней цифры А.

Подсказка 5

Давайте его просто выкинем: будем рассматривать число A - x², где x — квадратный корень последней цифры А.

Подсказка 6

Пусть k — количество нулей в A - x². Что можно сказать о делимости на 5?

Подсказка 7

x не делится на 5, что тогда можно сказать о множителях A - x²?

Подсказка 8

Вспомните формулу разности квадратов.

Подсказка 9

Попробуйте найти противоречие с (k+1)-значностью A.

Показать доказательство

Предположим, что $A$ точный квадрат. Тогда его последняя цифра будет $1,4,5,6$ или $9.$ Но точный квадрат не может оканчиваться ни на $05,$ ни на $06$ – например, потому что число, оканчивающееся на $05,$ дает остаток $5$ при делении на $25,$ а число, оканчивающееся на $06,$ дает остаток $2$ при делении на $4.$

Следовательно, число $A$ оканчивается на одну из цифр $1,4,9.$ Обозначим через $x$ квадратный корень из последней цифры числа $A.$ Пусть $k$ – число нулей в числе $2 A − x .$ (Можно считать, что $k >2.$ ) Так как число $x$ не делится на $5,$ то ровно одно из чисел $√ -- √-- A− x, A + x$ делится на $5,$ а значит, и на $k 5 .$ Следовательно, одно из этих чисел не меньше $k 5,$ а другое не меньше $k 5 − 6$ (ведь $x ≤3$ ). Значит, произведение этих чисел не меньше, чем $k (k ) k k k 5 5 − 6 > 5 ⋅9 ⋅2 =9⋅10 ,$ что противоречит $(k+ 1)$ -значности числа $A.$ Итак, число $A$ не может быть точным квадратом.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#52464Максимум баллов за задание: 7

Назовем натуральное число зеброй, если в его записи строго чередуются чётные и нечётные цифры. Может ли разность двух 100-значных зебр быть 100-значной зеброй?

Показать ответ и решение

Например,

50...50− 25...25 =25...25

Ответ: Может