Тема 14. Задачи по стереометрии

14.07 Перпендикулярность. Доказательство базовых фактов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по стереометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#18655Максимум баллов за задание: 1

Дан куб $ABCDA1B1C1D1.$ Докажите, что прямые $AC1$ и $BD$ перпендикулярны.

Показать ответ и решение

Проведем через точку $A$ прямую $l$ параллельно $DB.$ Поскольку $DB ⊥AC$ как диагонали квадрата, то $l ⊥ AC.$ Далее, $CC1 ⊥ (ABCD ),$ значит, $AC$ является проекцией $AC1$ на плоскость $(ABCD ).$

$PIC$

Мы доказали, что $l$ перпендикулярна проекции $AC,$ следовательно, по теореме о трех перпендикулярах $l$ перпендикулярна и самой наклонной $AC1.$ Тогда имеем:

l ⊥AC1, l ∥ BD ⇒ AC1 ⊥ BD

Ответ: Задача на доказательство

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#18657Максимум баллов за задание: 1

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ точки $O1,$ $O2$ и $O3$ — центры квадратов $AA1B1B,$ $BB1C1C$ и $ABCD$ соответственно. Докажите, что $B1O3 ⊥O1O2.$

Показать ответ и решение

Заметим, что $O1,$ $O2$ и $O3$ — середины отрезков $AB1,$ $B1C$ и $CA$ соответственно. Треугольник $△ AB1C$ — равносторонний, так как его стороны являются диагоналями равных квадратов. Отрезок $O1O2$ — средняя линия этого треугольника, параллельная стороне $AC.$

$PIC$

Отрезок $B1O3$ — медиана, а значит, и высота, проведенная к стороне $AC.$ Тогда имеем:

B1O3 ⊥ AC, O1O2 ∥AC ⇒ B1O3 ⊥ O1O2

Ответ: Задача на доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#96807Максимум баллов за задание: 1

Докажите, что в кубе $ABCDA1B1C1D1$ прямые $A1C$ и $BD$ перпендикулярны.

Показать ответ и решение

Так как $AA1 ⊥ (ABC ),$ то $AC$ — проекция наклонной $A1C$ на плоскость $ABC.$

$PIC$

Так как $ABCD$ — квадрат, то его диагонали $AC ⊥ BD.$ Значит, по теореме о трех перпендикулярах наклонная $A1C ⊥ BD.$

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#96808Максимум баллов за задание: 1

Докажите, что в правильной треугольной пирамиде $SABC$ скрещивающиеся ребра перпендикулярны.

Показать ответ и решение

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида с вершиной $S.$ Докажем, что $AB ⊥ SC.$

$PIC$

Так как пирамида правильная, то основание $H$ высоты $SH$ пирамиды — центр $△ABC.$ Следовательно, если $CC1$ — высота $△ABC,$ то $H ∈ CC1.$ Тогда $CC1$ — проекция наклонной $SC$ на плоскость $ABC.$ Так как $CC1 ⊥ AB,$ то по теореме о трех перпендикулярах $SC ⊥ AB.$

Ответ: Доказательство