Тема 14. Задачи по стереометрии

14.05 Аксиомы. Доказательство базовых фактов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по стереометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#15989Максимум баллов за задание: 3

Верно ли, что если две (три) точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в плоскости? А две точки окружности и ее центр? Ответы аргументируйте.

Показать ответ и решение

Если две точки окружности лежат в плоскости, несложно построить контрпример. Возьмем произвольную окружность $ω$ в плоскости $α$ . Построим произвольную прямую $a$ в плоскости $α$ , которая пересекает окружность $ω$ в двух точках $A$ и $B$ . Тогда очевидно, что существует плоскость $β$ , не совпадающая с $α$ и содержащая прямую $a$ . Несложно видеть, что две точки окружности $ω$ лежат в $β$ , при этом окружность не лежит в $β$ .

$PIC$
Три точки окружности лежат в плоскости. Окружность по определению является плоской фигурой, а три точки, не лежащие на одной прямой (а никакие три различные точки окружности действительно не лежат на одной прямой), единственным образом задают плоскость, значит, вся окружность лежит в этой плоскости.
Две точки на окружности могут оказаться диаметрально противоположными. Тогда они лежат с центром на одной прямой и существует бесконечное число плоскостей, проходящих через эти три точки. Значит, нельзя гарантировать, что окружность будет лежать в плоскости.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#16766Максимум баллов за задание: 3

Через точку $M$ , не лежащую на прямой $a$ , проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой $a.$ Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая $a$ являются скрещивающимися прямыми.

Показать ответ и решение

Обозначим через $b$ и $c$ прямые, проходящие через точку $M$ . Допустим противное, т.е. ни $b$ , ни $c$ не скрещиваются с $a$ . Это значит, что $b$ и $a$ лежат в некоторой плоскости $β$ , а $c$ и $a$ в некоторой плоскости $γ$ . Очевидно, что $M ∈ β$ и $M ∈ γ$ , а также $a ⊂ β$ и $a ⊂ γ$ . При этом мы знаем, что прямая $a$ и точка $M$ , не лежащая на этой прямой, однозначно задают плоскость, следовательно $γ = β$ . Получили, что все три прямые лежат в одной плоскости. Прямые $b$ и $c$ не могут обе быть параллельны $a$ , значит, хотя бы одна из них имеет с $a$ точку пересечения, что противоречит условию.

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16767Максимум баллов за задание: 3

Прямая $c$ пересекает прямую $a$ и не пересекает прямую $b$ , параллельную прямой $a.$ Докажите, что $b$ и $c$ — скрещивающиеся прямые.

Показать ответ и решение

Допустим противное, т.е. что $b$ и $c$ не скрещивающиеся, тогда они лежат в одной плоскости. При этом по условию $b$ и $c$ не пересекаются, следовательно, $b ∥ c$ . Получили $c ∥ b ∥ a$ , что противоречит условию, что $c$ пересекает $a$ .

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#16769Максимум баллов за задание: 3

Через вершину $A$ ромба $ABCD$ проведена прямая $a$ , параллельная диагонали $BD$ , а через вершину $C$ — прямая $b$ , не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые $a$ и $CD$ пересекаются; б) $a$ и $b$ — скрещивающиеся прямые.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим плоскость ромба через $α$ .

а) Прямая $a$ параллельна $BD ⊂ α$ и проходит через $A ∈ α$ , следовательно, $a ⊂ α$ . $CD$ пересекается с $BD$ , $BD ∥ a$ , следовательно, $CD$ пересекается с $a$ .

б) Допустим, что $b$ и $a$ не скрещиваются. Тогда они однозначно задают некоторую плоскость $β$ . Точка $C$ лежит в $β$ , при этом точка $C$ и прямая $a$ однозначно задают некоторую плоскость, и эта плоскость является плоскотью ромба (как мы знаем из пункта а). Тогда плоскость ромба и плоскость $β$ совпадают, однако это противоречит условию, что $b$ не лежит в плоскости ромба. Значит, $b$ и $a$ скрещиваются.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#16770Максимум баллов за задание: 3

Докажите, что если $AB$ и $CD$ скрещивающиеся прямые, то $AD$ и $BC$ также скрещивающиеся прямые.

Показать ответ и решение

Допустим противное, т.е. $AD$ и $BC$ не скрещиваются. Из этого сразу следует, что все четыре точки $A,B, C,D$ лежат в одной плоскости, что противоречит условию « $AB$ и $CD$ скрещивающиеся прямые». Значит, $AD$ и $BC$ скрещивающиеся.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#34999Максимум баллов за задание: 3

Точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ скрещиваются.

Показать ответ и решение

Рассмотрим плоскость $(ABC )$ . прямая $CD$ пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на прямой $AB$ . Следовательно, по признаку прямые $AB$ и $CD$ скрещиваются.

Ответ: Доказательство

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#35000Максимум баллов за задание: 3

На одной из двух скрещивающихся прямых взяли различные точки $A$ и $A 1$ , на другой — различные точки $B$ и $B 1$ . Верно ли, что прямые $AB$ и $A1B1$ — секрещивающиеся прямые?

Показать ответ и решение

Да. Прямые $AA 1$ и $BB 1$ не лежат в одной плоскости, следовательно, четыре точки $A,A ,B,B 1 1$ не лежат в одной плоскости. Тогда любая пара прямых, составленная из этих точек, является парой скрещивающихся прямых.

Ответ: Да

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания