19.19 Принцип Дирихле

Отметим, что разность делится на 10 в том случае, если числа оканчиваются на одну и ту же цифру. Всего есть 10 цифр, и на каждую цифру может оканчиваться только одно из выписанных чисел. Значит, выписанных чисел не больше, чем цифр, то есть не больше 10. Поэтому указанных в условии 11 натуральных чисел не существует.

Предположим, что ни одно из условий не выполнилось. Тогда количество ног у этих инопланетян принимает не больше 7 различных значений, и каждое значение принимается не больше 7 раз. Тогда всего инопланетян не больше, чем Но по условию их 50. Значит, мы пришли к противоречию, и по крайней мере одно из условий задачи точно выполнится.

В каждой посчитанной Ёжиком сумме по 10 слагаемых. Минимально возможная такая сумма равна а максимальная равна

Таким образом, всего различных значений для сумм, посчитанных Ёжиком,

Но сумм, которые посчитал Ёжик, двадцать две: 10 по вертикалям, 10 по горизонталям и 2 по диагоналям. Если бы все эти суммы были различны, то у Ёжика получилось бы 22 различных значения, но, как мы поняли выше, различных значений всего 21.

Значит, какие-то две суммы, посчитанные Ёжиком, равны.

Заметим, что остатков при делении на 99 всего 99 штук: от 0 до 98.

Если среди данных чисел есть два, которые дают одинаковые остатки при делении на 99, то их разность делится на 99. Предположим, что таких чисел на доске нет. Тогда каждому из 99 остатков соответствует не более одного числа. Но и чисел в таком случае не больше 99, а на доске их 100.

Мы пришли к противоречию, значит, разность между какими-то двумя написанными числами все же делится на 99.

Разобьем квадрат на 25 квадратиков Предположим, что в каждый квадратик Крош попал хотя бы дважды. Тогда всего выстрелов было не менее а по условию их было 49. Значит, есть квадрат, в который Крош попал не более одного раза. Тогда в этом квадрате как раз и можно выделить уголок из трех клеток, ни в одну из которых Крош не попал.