Теорема косинусов и теорема Пифагора
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность с диаметром 
касается сторон угла 
в точках 
и 
Её хорда 
проходит через середину хорды 
а отрезок
пересекает окружность в точке 
а) Докажите, что хорды 
и 
параллельны;
б) Найдите отношение 
если угол 
равен 
Источники:
Пункт а, подсказка 1
Внимательно посмотрите на чёртеж: что мы могли бы сказать про точки E и F, если бы условие задачи выполнялось?
Пункт а, подсказка 2
Заметим, что вся картинка симметрична относительно прямой AO. Тогда нам нужно доказать, что точки E и F тоже симметричны относительно этой прямой! Но как это сделать?
Пункт а, подсказка 3
Пусть N — точка, диаметрально противоположная точке C. Тогда точки A, E и N должны лежать на одной прямой! Что это говорит нам об углах нашего чертежа?
Пункт а, подсказка 4
Угол CEN прямой, значит, угол CEA тоже должен быть прямым. Чтобы это доказать, найдите вписанный четырёхугольник на чертеже!
Пункт б, подсказка 1
На картинке много равных и прямых углов, что может намекать нам на обилие подобных треугольников! Из какого подобия мы можем достать нужное отношение?
Пункт б, подсказка 2
Пусть M — середина BC. Заметим, что треугольники MFE и MDN подобны! Это подобие даёт нам отношение некоторых сторон.
Пункт б, подсказка 3
Более того, одно из этих отношений — искомое, а второе мы можем найти, используя теорему Пифагора и степень точки M!
а) Пусть 
середина 
точка диаметрально противоположная 
Докажем,что точки 
и 
симметричны относительно
прямой 
для этого достаточно чтобы 
и 
лежали на одной прямой.
Так как, 
диаметр, то достаточно доказать, что 
Но так, как 
то хотим доказать, что 
лежат на одной окружности, для этого проверим, что 
Заметим, что 
вписанный, 
лежит на прямой 
и 
вписанный, поэтому верны следующие равенства
б) Можно считать, что 
Заметим,что
Значит,из теоремы косинусов 
Так же видно, что 
Наконец, заметим, что 
и 
подобен 
поэтому
Это отношение и посчитаем. Посчитаем 
с помощью теоремы Пифагора, для 
где 
— середина 
Воспользуемся степенью точки 
Откуда получаем
Посчитаем нужное отношение
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
