Теорема косинусов и теорема Пифагора
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности одинакового радиуса 
пересекаются в точках 
и 
. На первой окружности выбрана точка 
, а
на второй - точка 
. Оказалось, что точка 
лежит на отрезке 
, a 
. На перпендикуляре к 
,
проходящем через точку 
, выбрана точка 
так, что 
(точки 
и 
расположены по разные стороны от прямой
.
а) Найдите длину отрезка 
.
б) Пусть дополнительно известно, что 
. Найдите площадь треугольника 
.
Источники:
Подсказка 1
Самая естественная мысль, которая возникает это найти отрезок из теоремы Пифагора. Тогда нам нужно найти два катета. Подумаем, как удобнее всего выразить сторону в треугольнике, если мы знаем радиус описанной окружности?
Подсказка 2
Верно, их можно выразить через теорему синусов. Для этого нам осталось только обозначить удобный угол и найти стороны.
Подсказка 3
Теперь попробуем ввести ещё один угол бетта, равный углу BCF, и узнать углы треугольника АDС. Что можно сказать про тангенс угла бетта, как можно выразить его через отрезки?
Подсказка 4
Ага, понимаем, что тангенсы углов BCF и DAB равны, а значит и углы эти равны. Теперь осталось выразить сторону АС треугольника АCF и найти его площадь.
а) Пусть 
- радиусы данных в условии окружностей, 
. Тогда 
, и по теореме синусов для
:
для 
:
Значит,
откуда 
б) Так как 
, то 
. Далее, углы 
и 
вписаны в равные окружности и опираются на одну
и ту же хорду 
, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника 
находим, что 
.
Тогда
поэтому
Итак,
, где 
Значит, 
а) 
б) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
