Теорема косинусов и теорема Пифагора

Заметим сразу, что , то есть треугольник — остроугольный. А значит, и . Поэтому точка лежит снаружи треугольника

Обозначим углы треугольника за По теореме косинусов найдем угол

Проведем . Тогда Поэтому, так как по условию,

Пусть — точка пересечения и . — биссектриса, медиана и высота в равнобедренном треугольнике , поэтому

Тогда из прямоугольного треугольника получаем

По теореме косинусов найдем угол

По формуле половинного угла

По основному тригонометрическому тождеству

И тогда

А из треугольника находим

В итоге

Пусть . Если обозначить через , а через , то с помощью свойства биссектрисы нетрудно вычислить .

Вычислим .

Теперь напишем теоремы косинусов для треугольников и :

Вычтем одно равенство из другого и получим:

Если , то имеем

Тогда либо , либо

Первый вариант неверен, потому что тогда не будет выполняться неравенство треугольника . При втором варианте не выполняется теорема косинусов для треугольника

Значит,

Решая это уравнение как квадратное относительно получаем . Подставляя это в первое уравнение, получаем

Этим значениям соответствуют

Пусть — заданный параллелограмм. Тогда

По теореме косинусов в

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах и параллелограмма пересекаются в точке биссектрисы внешних углов при вершинах и — в точке углов при вершинах и — в точке а углов при вершинах и — в точке Четырехугольник, образованный биссектрисами внешних углов параллелограмма, есть

Биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых и секущей пересекаются под прямым углом, а значит, — прямоугольник

Пусть биссектриса внешнего угла пересекает продолжение стороны в точке Рассмотрим — равнобедренный (так как — биссектриса и накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей равны), то и биссектриса является и медианой, то есть — середина

Аналогично, в равнобедренном и — середина Рассмотрим трапецию в которой MP является средней линией, а значит, она параллельна основаниям и равна:

По заданным числовым значениям задачи получаем: Итак, — прямоугольник, где диагонали и радиус описанной около прямоугольника окружности равен

Обозначим медиану из вершины через

Первое решение.

Опустим перпендикуляр на прямую Тогда в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы так как лежит напротив угла в градусов. А ещё по условию Тогда Получили, что в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, а значит, это параллелограмм, так что В итоге

Второе решение.

Отметим ещё середину  — как а середину  — как Тогда а ещё по условию Так что треугольник — равносторонний () с углом при вершине в значит, он равносторонний.

Тогда как смежный с углом в Далее, поэтому треугольник  — прямоугольный, и Смежный с ним С другой стороны, этот же угол равен так как  — средняя линия треугольника — параллельна

Третье решение.

Не будем думать и просто посчитаем:

1) по теореме косинусов для треугольника

2) по формуле медианы (при удвоение медианы получается параллелограмм, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон)

3) по теореме косинусов для треугольника

Первое решение.

Пусть — центр вписанной в окружности. Тогда по лемме о трезубце Значит,

Пусть — точка касания вписанной окружности стороны

Из прямоугольного треугольника

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

как хорды, опирающиеся на равные углы. Из равнобедренного прямоугольного треугольника находим

По теореме косинусов для треугольников и стороны и являются корнями уравнения

Отсюда, используя формулу разности квадратов, получаем

В итоге

Обозначим

Треугольники и имеют общую высоту из общей вершины следовательно, можем записать следующие соотношения для их площадей

(1)

Пусть — перпендикуляр из к прямой — перпендикуляр из к прямой Так как — биссектриса значит, точка равноудалена от прямых и Следовательно, Благодаря этому получаем

(2)

Из соотношений (1) и (2) следует, что

Аналогично получаем

Тогда

Значит, по теореме Менелая точки лежат на одной прямой. Т.е. и

По теореме косинусов найдём

Теперь найдём

Аналогично получаем и Обозначим Получим значения и из двух теорем косинусов

Запишем теорему косинусов в

Углы и равны как вертикальные. Запишем теорему косинусов в

Следовательно,

Положим . Тогда , где точка касания окружности с гипотенузой.

По теореме Пифагора .

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем или, что то же самое,

Раскладывая на множители, получаем

По условию . Тогда и . Стало быть, , откуда .

Подставляя в полученное выше соотношение, получаем . Тогда , откуда .

Пусть диагонали и пересекаются в точке , а — середины и соответственно. Не умаляя общности, можно считать, что лежит на отрезке , а — на , поскольку иначе можно поменять местами пары вершин четырёхугольника на диагоналях. Известно, что из центра окружности перпендикуляр к хорде проходит через её середину. Тогда прямоугольник (не забываем, что ещё диагонали перпендикулярны). По теореме Пифагора

Аналогично,

Итак, мы знаем кусочки диагоналей после разбиения точкой пересечения. Осталось посчитать стороны четырёхугольника по теореме Пифагора:

Пусть

По теореме об отрезках секущих

Далее , откуда . Далее найдём по теореме косинусов

Из подобия сразу же получаем , теперь используем теорему синусов для

Поскольку , то .

Пусть дан треугольник — середина

Напишем теорему косинусов для треугольника :

Значит, и

Теперь напишем теорему косинусов для треугольника .

Удвоим медиану до точки . Тогда , и .

Значит, . Напишем для треугольника теорему косинусов.

а) Пусть - радиусы данных в условии окружностей, . Тогда , и по теореме синусов для :

для :

Значит,

откуда

б) Так как , то . Далее, углы и вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду , поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника находим, что . Тогда

поэтому

Итак,

, где Значит,

а) Пусть - радиусы окружностей , соответственно, , а прямые и пересекаются в точке . Тогда из условия касания ( — диаметр) и , откуда , а . Треугольники и равны по трем сторонам, поэтому . Площадь треугольника равна . Применим данное в условии отношение площадей и . Кроме того, как расстояния между прямыми, равны , откуда , следовательно , и .

б) Из прямоугольного треугольника получаем , то есть . Итак, и . Отсюда .

Раз и медиана, и высота в треугольнике , то он равнобедренный, и значит, . Пусть и . Тогда и . Так как , то . Значит, . Тогда . Значит,

Проведем через прямую параллельную . Мы знаем, что и , поэтому и и . Из параллельности , поэтому , и . Тогда по теореме косинусов

Тогда

Поскольку четырёхугольник вписан в окружность, угол прямой. Следовательно, треугольники , , подобны. Поскольку , , то . Из подобия , откуда . По теореме Пифагора для , , откуда и из теоремы Пифагора для получаем . Стало быть, площадь Далее, из того же подобия следует, что . Стало быть, Тогда площадь четырёхугольника равна .

Введем обозначения: . Поскольку угол - прямой, то по теореме об соотношениях в прямоугольном треугольнике для двух катетов будем иметь:

Из отношения площадей треугольников с общим углом находим ответ на первый вопрос:

Из теоремы Пифагора для имеем . Далее пусть — центр окружности из условия, а также , запишем теорему косинусов для

Обозначим площадь сектора через . Тогда . Внутри окружности у треугольника два таких сектора. Кроме того, внутри окружности два треугольника одинаковой площади (симметрия относительно ). Найдем площадь . Тогда ответ на второй вопрос будет следующий: .

Проведём через центр окружности прямую, перпендикулярную основаниям трапеции. Пусть она пересекает и в точках и соответственно.

Так как диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам, и . По теореме Пифагора из треугольников и находим, что и . Отсюда или

Заметим, что так как диагонали параллелограмма перпендикулярны диагоналям прямоугольника, то углы между диагоналями в обеих этих фигурах одинаковы. Так как площадь четырехугольника равна произведение его диагоналей, то теперь нам нужно посчитать

Пусть . Заметим, что . Значит, . По теореме Пифагора и так как , то . Отсюда

Пусть . Заметим, что . Значит, . По теореме Пифагора и так как , то . Отсюда

a) Так как , то равнобедренная трапеция. Значит, , . Отсюда треугольник и равны, и значит, — биссектриса. Значит, . Отсюда и значит,

б) Проведем биссектрису угла и пересечем ее с окружностью в точке . Заметим, что угол равен дугам . Значит, половина угла равна углу и равна дугам . Значит, это середина дуги . Так же биссектриса угла проходит через . Значит, .

Степень точки равна . Отсюда и

Посчитаем через теорему косинусов косинус угла .

Прямая перпендикулярна хордам и делит каждую из них пополам. Пусть точки , и середины и Обозначим радиус окружности за Тогда и по теореме Пифагора для треугольников и получаем откуда после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых следует, что

находим, что , . Тогда ;

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что , . Тогда

Следовательно, .

Пусть эта трапеция . При этом , а также .

Построим , тогда , . Кроме того, из получаем . Введём также . Используем прямой угол между диагоналями . Отсюда , (). Теперь мы готовы написать теорему косинусов для

Оба значения подходят, поскольку обозначения в условии симметричны. Не умаляя общности, , откуда . Осталось заметить, что высота трапеции равна