Теорема косинусов и теорема Пифагора
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность, проходящая через вершины 
и 
прямоугольника 
, пересекает сторону 
в точке 
, а диагональ
– в точке 
. Найдите площадь четырёхугольника 
, если 
, а точки 
лежат на одной
прямой.
Источники:
Подсказка 1
Поскольку ABEF не является какой-нибудь "удобной" фигурой, её площадь удобнее всего искать как разность площадей знакомых нам фигур: например, △ABC и △CFE. Для этого нам понадобятся ещё длины сторон. Будем их искать!
Подсказка 2
Какие свойства вписанного четырёхугольника вы помните? Сделайте вывод об ∠АFE, пользуясь вписанностью ABEF. Отметьте всевозможные равные углы и обратите внимание на прямоугольные треугольники в нашей конструкции — что можно про них сказать?
Подсказка 3
Поработайте с подобием прямоугольных треугольников: зная отношение катетов и гипотенузу, длина которой дана в условии, Вы можете отыскать и сами эти катеты (Пифагор в помощь!). Останется лишь дважды применить формулу площади прямоугольного треугольника и задача убита!
Поскольку четырёхугольник 
вписан в окружность, угол 
прямой. Следовательно, треугольники 
, 
, 
подобны. Поскольку 
, 
, то 
. Из подобия 
, откуда 
. По теореме
Пифагора для 
, 
, откуда 
и из теоремы Пифагора для 
получаем 
. Стало быть, площадь
Далее, из того же подобия следует, что 
. Стало быть, 
Тогда площадь
четырёхугольника 
равна 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
