Теорема косинусов и теорема Пифагора
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная в прямоугольный треугольник 
окружность касается катетов 
и 
в точках 
и 
Найдите 
если
известно, что 
Источники:
Подсказка 1
Для нашего удобства обозначим CD = x, BF = y, AD = z. Также отметим, что E — точка касания окружности с гипотенузой треугольника. Какие равенства можно записать в первую очередь?
Подсказка 2
Помним, что отрезки касательных из одной точки равны, и записываем теорему Пифагора! Получится довольно интересное уравнение, в котором так и захочется привести подобные…а как использовать синус?
Подсказка 3
Приведя подобные слагаемые, мы приходим к тому, что x/y * x/z + x/y + x/z = 1. Тут есть одинаковые множители, которые так и хочется вынести)
Подсказка 4
(x/y + 1)(x/z + 1) = 2. Осталось лишь понять, как же нам выразить z через x, а в этом нам поможет условие, а именно — тангенс известного угла!
Положим 
. Тогда 
, где 
точка касания окружности с гипотенузой.
По теореме Пифагора 
.
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем 
или, что то же самое,
Раскладывая на множители, получаем
По условию 
. Тогда 
и 
. Стало быть, 
, откуда
.
Подставляя 
в полученное выше соотношение, получаем 
. Тогда 
, откуда 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
