Введение векторов или координат в планиметрии

Первое решение. Обозначим .

Докажем утверждение, известное как теорема Лейбница в геометрии. Пусть - точка пересечения медиан треугольника . Представим

тогда

Поскольку центр тяжести треугольника , то

и

С учётом доказанной выше теоремы задача эквивалентна

то есть неравенство сводится к

Итак, геометрическим местом точек , удовлетворяющих поставленному условию, является круг радиуса с центром в точке пересечения медиан треугольника .

Этот круг принадлежит треугольнику, если его радиус не больше, чем одна треть наименьшей из высот :

Значит, при выполнении условия

искомая площадь равна . По формуле Герона найдем площадь треугольника:

Вычислим

Поскольку , условие выполняется:

Значит, ответ: .

Второе решение. Высота треугольника, проведенная к стороне длины , равна . Основание высоты делит эту сторону на отрезки, равные и . Введем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда .

Перепишем неравенство так:

Оно определяет круг радиуса с центром в точке . Покажем, что все точки этого круга принадлежат треугольнику . Для этого найдем расстояния от точки до сторон треугольника. Уравнение стороны , расстояние до неё равно . Уравнение стороны , расстояние . И расстояние от точки до стороны равно, очевидно, . Наименышее из расстояний , тем не менее, больше, чем радиус круга . Поэтому весь круг и является той фигурой, площадь которой требуется найти, откуда .