Введение векторов или координат в планиметрии

Пусть ромб вписан в эллипс с центром Зададим декартову систему координат с центром в точке и осями координат, которые совпадают с осями эллипса.

Ясно, что центр любого вписанного в эллипс ромба совпадает с центром эллипса — точкой тогда радиус вписанной окружности ромба равен высоте прямоугольного треугольника т.е.

Пусть эллипс задается уравнением

для некоторых действительных Прямые и имеют уравнения и тогда точки и имеют координаты и которые удовлетворяют

следовательно,

Наконец, имеем

т.е. радиус не зависит от положения ромба.

Пусть — произвольная точка плоскости.

Про точку пересечения медиан треугольника известно, что:

(это характеристическое свойство следует из того, что точка пересечения медиан является центром масс )

А требуется доказать, что является ещё и точкой пересечения медиан треугольника , то есть:

Левые части полученных двух векторных равенств совпадают, поэтому надо доказать про правые, что разность правых частей в этих равенствах равна нулевому вектору, то есть (преобразуем по правилу вычитания векторов):

Возьмём серединный треугольник и повернём его вокруг точки на . Получим треугольник такой, что

К тому же,

Значит,

Но тогда получаем требуемое:

Введем декартову систему координат, и пусть - координаты -й улитки в момент времени . Поскольку улитки движутся прямолинейно и равномерно, то и - линейные функции от времени . Рассмотрим векторы

направленные от первой улитки ко второй и третьей соответственно. Тогда условие принадлежности трех улиток одной прямой равносильно коллинеарности векторов и .

Это в свою очередь равносильно пропорциональности координат этих векторов:

Заметим, что это равенство представляет собой уравнение на переменную степени не выше 2. Нам известно, что у этого уравнения есть три различных корня. Но тогда это уравнение имеет тривиальный вид , поскольку в противном случае у него не может быть больше двух корней. Значит, это уравнение справедливо при любом , и улитки всегда находятся на одной прямой и не могут оказаться в вершинах ни одного треугольника.

Если ввести декартову систему координат с началом в точке и одной из осей, направленной вдоль линии (можно и иначе), то координаты всех подстанций будут изменяться линейным образом, следовательно, квадраты расстояний будут являться значениями некоторого многочлена второй степени . Найдём его. Будем измерять в условных единицах длины, так что каждая следующая единица соответствует следующей паре подстанций. Тогда

Для простоты расчетов уменьшим все правые части в раз и из полученной линейной системы найдём

Следовательно, искомый многочлен имеет вид

Его дискриминант отрицателен, нигде не обращается в ноль (и всюду положителен). Следовательно, линии не пересекаются. Квадрат расстояния между ними равен минимальному значению , которое достигается при и равно . А само расстояние равно 15.

Иными словами, нас просят доказать векторное равенство

Пусть симметрична относительно середины тогда

По свойству ортоцентра и значит — параллелограмм, следовательно,

Таким образом,

Первое решение.

Пусть медианы будут и аналогично для (). Тогда из имеем

Заметим, что сумма всех векторов равна нулю, поэтому из них можно составить треугольник. Это важно, поскольку тогда мы можем использовать их в качестве сторон (). Далее из треугольника получим

Здесь мы воспользовались тем, что Повторяя аналогичные рассуждения для остальных сторон, получаем подобие с коэффициентом

Второе решение.

Если стороны треугольника равны то квадраты длин медиан выражаются по формулам

Тогда у треугольника квадраты длин сторон, как медианы треугольника выражаются по формулам

Далее аналогично считаются длины оставшихся двух сторон. В итоге у треугольника стороны равны поэтому он подобен исходному треугольнику со сторонами коэффициент подобия равен

Первое решение.

а) Так как по условию то

По условию Отметим точку — центр квадрата. Тогда Поэтому

В силу того, что углы от 0 до 180 градусов невключительно, из следует дающее вписанность.

б) Пусть точка — точка пересечения и . Из вписанности имеем так что искомое расстояние

Из подобия треугольников и

Из условия задачи

В итоге получаем

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

a) Заметим, что если ввести систему координат с центром в точке , а ось пустить по лучу , ось - по , а , то мы легко найдем координаты всех точек, что нам даны. Тогда мы можем найти центр описанной окружности прямоугольного треугольника - середину гипотенузы, тогда . Находим расстояние между точками , равное , и убеждаемся, что оно равно , то есть действительно лежат на одной окружности.

б) В нашей системе координат прямая задаётся уравнением , а прямая : , откуда сразу находим, что точка пересечения и имеет координаты . Так как прямая задаётся (по двум точкам) уравнением: , вспоминаем формулу расстояния от точки до прямой и записываем ответ, подставляя

Рассмотрим 12-угольник удовлетворяющий условию задачи. У него десять сторон длины 1 и одна сторона длины 2. Обозначим через длину оставшейся стороны. Рассмотрим векторы а также коллинеарные им единичные векторы Тогда для некоторых и имеет место равенство

Помимо того,

поэтому

Вычитая второе из полученных равенств из первого, получаем

Это возможно лишь в случае, если и Значит, в исходном 12-угольнике есть пара параллельных сторон длины 2.

В силу равенства всех углов и соответствующих сторон этот 12-угольник имеет ось симметрии:

Чтобы найти площадь, разобьём его на 4 трапеции и прямоугольник. Находим , поэтому искомая площадь равна

Изобразим окружности и их центры, которые обозначим Рассмотрим векторы и

Поскольку центры описанных окружностей лежат на пересечении серединных перпендикуляров, проекции указанных векторов на стороны исходного параллелограмма будут равны половине этих сторон.

Таким образом, если ввести две оси: одну параллельно стороне а другую параллельно стороне то каждая пара рассматриваемых векторов будет иметь одинаковые проекции на каждую из введенных осей. Отсюда следует попарное равенство самих векторов.

Первое решение. Обозначим .

Докажем утверждение, известное как теорема Лейбница в геометрии. Пусть - точка пересечения медиан треугольника . Представим

тогда

Поскольку центр тяжести треугольника , то

и

С учётом доказанной выше теоремы задача эквивалентна

то есть неравенство сводится к

Итак, геометрическим местом точек , удовлетворяющих поставленному условию, является круг радиуса с центром в точке пересечения медиан треугольника .

Этот круг принадлежит треугольнику, если его радиус не больше, чем одна треть наименьшей из высот :

Значит, при выполнении условия

искомая площадь равна . По формуле Герона найдем площадь треугольника:

Вычислим

Поскольку , условие выполняется:

Значит, ответ: .

Второе решение. Высота треугольника, проведенная к стороне длины , равна . Основание высоты делит эту сторону на отрезки, равные и . Введем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда .

Перепишем неравенство так:

Оно определяет круг радиуса с центром в точке . Покажем, что все точки этого круга принадлежат треугольнику . Для этого найдем расстояния от точки до сторон треугольника. Уравнение стороны , расстояние до неё равно . Уравнение стороны , расстояние . И расстояние от точки до стороны равно, очевидно, . Наименышее из расстояний , тем не менее, больше, чем радиус круга . Поэтому весь круг и является той фигурой, площадь которой требуется найти, откуда .

Пусть — некоторое положительное число. Треугольник со сторонами и существует тогда и только тогда, когда выполняются три неравенства:

Первое из этих неравенств выполнено при , второе — при всех положительных , третье — при , где — так называемое «золотое сечение», положительный корень квадратного уравнения . Следовательно, треугольник с такими сторонами существует при . При таких же существует треугольник со сторонами и . Пусть далее значение принадлежит отрезку .

В декартовой системе координат отметим точки , , точку в полуплоскости , для которой и , а также точку в полуплоскости , для которой и

По доказанному выше такие точки существуют для всех . Кроме того, треугольники и подобны по трем пропорциональным сторонам. Значит, и . Поскольку , угол , лежащий напротив стороны а треугольника , меньше . Отсюда получаем, что

Следовательно, — выпуклый четырехугольник при всех указанных значениях .

Пусть точка имеет координаты , тогда и . Из этих уравнений получаем

Эти выражения непрерывно зависят от на отрезке . Аналогично доказывается, что координаты точки также непрерывно зависят от на этом отрезке. Следовательно, длина диагонали четырехугольника , равная , также непрерывно зависит от на этом отрезке.

При треугольники и являются равносторонними со стороной 1 , поэтому . При получаем

Значит, непрерывная на отрезке функция принимает в концах этого отрезка значения разных знаков:

Поэтому найдется такое значение , при котором и, следовательно,

Рассмотрим траекторию движения, следуя правилу "угол падения равен углу отражения". Пусть эти углы равны для случаев отражения от бортов , , , соответственно. Тогда выполняются равенства и из тех соображений, что противоположные углы параллелограмма равны. Из этих равенств вытекает, что и , из чего, в свою очередь, следует, что – прямоугольник.

Введём аффинную систему координат, в которой , , , и выпишем уравнения прямых и . Поскольку и , прямые и задаются уравнениями:

соответственно, а их точкой пересечения будет

Теперь отразим прямоугольник зеркально сначала от стороны , затем от стороны, в которую перешла при этом отражении, и далее для двух оставшихся сторон по тому же принципу. Это стандартная процедура "выпрямления"бильярдной траектории, соответствующая равенству угла падения углу отражения.

При таких "зеркальных"отражениях траектория становится отрезком , где - образ точки после серии отражений. Её координаты легко вычислить: после четырёх отражений прямоугольник сохранил ориентацию, и сдвинулся на два размера влево и на два размера вверх. Таким образом, , и прямая имеет угловой коэффициент . Её уравнением будет

и прямую , заданную уравнением , она пересекает в точке с абсциссой . Это значит, что точка , в которую был направлен шар, делит отрезок в отношении .

Первое решение.

(везде ниже единицы измерения — сантиметры)

Из первого условия Сведём задачу к неравенству ломаной. Для этого отразим квадрат относительно ( а затем относительно ( Легко видеть, что Далее отразим относительно в точку Можно считать, что точку мы ранее также отражали относительно потому По неравенству ломаной Отрезок фиксирован, потому достаточно посчитать длину (нетрудно видеть, что минимум достигается подбором точек и Используем теорему Пифагора (“проекция на ”) и откуда

Второе решение.

Введём систему координат с центром в точке ось направим вдоль ось вдоль возьмём за единицу измерения см. Обозначим координату точки по оси за координату точки по оси — за Тогда по теореме Пифагора периметр четырёхугольника равен

Отметим точки с соответствующими им координатами: По неравенству ломаной

причём равенство достигается при

Итак, минимальный периметр равен

Рассмотрим проекции и векторов и на хорду — середина хорды , поэтому

и — середины хорд и , поэтому

Таким образом, .

Аналогично равны проекции векторов и на хорду . Но вектор полностью определяется своими проекииями на две непараллельные прямые. Поэтому