Введение векторов или координат в планиметрии

Первое решение.

(везде ниже единицы измерения — сантиметры)

Из первого условия . Сведём задачу к неравенству ломаной. Для этого отразим квадрат относительно (), а затем относительно (). Легко видеть, что . Далее отразим относительно в точку . Можно считать, что точку мы ранее также отражали относительно , потому . По неравенству ломаной . Отрезок фиксирован, потому достаточно посчитать длину (нетрудно видеть, что минимум достигается подбором точек и ). Используем теорему Пифагора (“проекция на ”) и , откуда .

Второе решение.

Введём систему координат с центром в точке , ось направим вдоль , ось вдоль , возьмём за единицу измерения см. Обозначим координату точки по оси за , координату точки по оси — за . Тогда по теореме Пифагора периметр четырёхугольника равен .

Отметим точки с соответствующими им координатами: . По неравенству ломаной причём равенство достигается при

Итак, минимальный периметр равен