Введение векторов или координат в планиметрии
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из медиан треугольника 
составлен треугольник 
а из медиан треугольника 
составлен треугольник 
Докажите, что треугольники 
и 
подобны, и найдите коэффициент подобия.
Подсказка 1
Для начала надо построить треугольник A₁B₁C₁. Вы же помните, как выражается вектор медианы через вектора сторон?
Подсказка 2
Если проведена медиана AM₁, то вектор AM₁ равен полусумме векторов AB и AС. Нетрудно увидеть, что сумма векторов AM₁, BN₁ и CK₁ равна 0 (BN₁ и CK₁- векторы оставшихся медиан), а значит из них действительно можно сложить треугольник. Может тогда посмотрим, как выражаются медианы треугольника A₁B₁C₁?
Подсказка 3
Мы знаем, что для векторов нашего треугольника A₁B₁C₁ верны следующие равенства: A₁B₁= AM₁, B₁C₁=BN₁, C₁A₁=CK₁. Тогда вектор медианы A₁M₂ равен полусумме векторов AM₁ и K₁C. Как тогда можно выразить вектор A₁M₂ через вектора треугольника ABC?
Подсказка 4
A₁M₂=(AM₁+M₁C)/2=(AB+AC+BC+AC)/4=3*AC/4. Осталось аналогично выразить остальные векторы медиан B₁N₂ и C₁K₂ и завершить решение!
Первое решение.
Пусть медианы 
будут 
и аналогично для 
(
). Тогда из 
имеем
Заметим, что сумма всех векторов равна нулю, поэтому из них можно составить треугольник. Это важно, поскольку тогда мы можем
использовать их в качестве сторон 
(
). Далее из треугольника 
получим
Здесь мы воспользовались тем, что 
Повторяя аналогичные рассуждения для остальных сторон, получаем подобие
с коэффициентом 
Второе решение.
Если стороны треугольника равны 
то квадраты длин медиан выражаются по формулам
Тогда у треугольника 
квадраты длин сторон, как медианы треугольника 
выражаются по формулам
Далее аналогично считаются длины оставшихся двух сторон. В итоге у треугольника 
стороны равны 
поэтому он
подобен исходному треугольнику со сторонами 
коэффициент подобия равен 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
