Введение векторов или координат в планиметрии

Рассмотрим траекторию движения, следуя правилу "угол падения равен углу отражения". Пусть эти углы равны для случаев отражения от бортов , , , соответственно. Тогда выполняются равенства и из тех соображений, что противоположные углы параллелограмма равны. Из этих равенств вытекает, что и , из чего, в свою очередь, следует, что – прямоугольник.

Введём аффинную систему координат, в которой , , , и выпишем уравнения прямых и . Поскольку и , прямые и задаются уравнениями:

соответственно, а их точкой пересечения будет

Теперь отразим прямоугольник зеркально сначала от стороны , затем от стороны, в которую перешла при этом отражении, и далее для двух оставшихся сторон по тому же принципу. Это стандартная процедура "выпрямления"бильярдной траектории, соответствующая равенству угла падения углу отражения.

При таких "зеркальных"отражениях траектория становится отрезком , где - образ точки после серии отражений. Её координаты легко вычислить: после четырёх отражений прямоугольник сохранил ориентацию, и сдвинулся на два размера влево и на два размера вверх. Таким образом, , и прямая имеет угловой коэффициент . Её уравнением будет

и прямую , заданную уравнением , она пересекает в точке с абсциссой . Это значит, что точка , в которую был направлен шар, делит отрезок в отношении .