Введение векторов или координат в планиметрии

Введем декартову систему координат, и пусть - координаты -й улитки в момент времени . Поскольку улитки движутся прямолинейно и равномерно, то и - линейные функции от времени . Рассмотрим векторы

направленные от первой улитки ко второй и третьей соответственно. Тогда условие принадлежности трех улиток одной прямой равносильно коллинеарности векторов и .

Это в свою очередь равносильно пропорциональности координат этих векторов:

Заметим, что это равенство представляет собой уравнение на переменную степени не выше 2. Нам известно, что у этого уравнения есть три различных корня. Но тогда это уравнение имеет тривиальный вид , поскольку в противном случае у него не может быть больше двух корней. Значит, это уравнение справедливо при любом , и улитки всегда находятся на одной прямой и не могут оказаться в вершинах ни одного треугольника.