Введение векторов или координат в планиметрии

Подсказка 1

Если мы хотим 6 чисел, которые идут в геометрической прогресии в некотором порядке, и, более того, образуют четыре треугольника, то единственное, что нам нужно при подборе таких чисел — это выполнение неравенства треугольника и конструкция, на которой можно было бы это неравенство проверять. При этом хотелось бы, чтобы некоторые треугольники были подобны, чтобы не приходилось делать несколько проверок и накладывать много ограничений на параметры, которыми мы всё зададим. Понятно, что в силу того, что если подходит треугольник A, то подходит и треугольник, который уменьшен в k раз, поэтому, одна из длин равна 1. Также нам было бы удобно работать с некоторыми симметриями, то есть чтобы у нас было не просто 1, x, x²,…,x⁵, скорее нам удобнее 1/x², 1/x, 1 , x², x³, чтобы как раз проще было проверять неравенства треугольника. Попробуйте придумать два треугольника (этим и задается четырёхугольник), которые были бы подобны и использовали вышеупомянутые рассуждения.

Подсказка 2

Интересной конструкцией является четырехугольник OABC, OA = a², OB = 1, OC = 1/a², AB = a, BC = 1/a. Во многом, типичная задача с ММО — сложная конструкция в условии, её намеренное ослабление участником (вместе с пониманием, что можно ослаблять, а что нет), и интересные, но при этом не через «заметим что» рассуждения. Давайте поймём, для каких а тогда у нас выполняется неравенство треугольника и, что не менее важно, выпуклость четырёхугольника. Поскольку мы не задали сторону AC, то понятно, для каких треугольников нужно писать необходимые неравенства. А почему если мы напишем только для них, то будет выполнено и для остальных?

Подсказка 3

Нетрудно понять, что неравенства треугольника для двух с известными сторонами выполнено на промежутке (1/phi, phi), где phi = (1 + √5)/2. Теперь надо понять, для каких а выполнено условия выпуклости четырёхугольника. Понятно, что углы AOB и BOC равны, в силу подобия, а значит, для доказательства выпуклости нам надо доказать, что угол AOC меньше 90. Поймите, чему это равносильно, а также почему условие на угол ABC проверять не надо.

Подсказка 4

Угол ABC меньше 180, потому что это сумма двух углов одного треугольника. А вот для того, чтобы доказать про угол AOC, надо воспользоваться упомянутой спецификой ММО — возможность аккуратного упрощения. Мы можем взять a ≥ 1 > 1/phi, чтобы определить порядок длин сторон в каждом из треугольников. Потому что когда есть такая определенность, мы с уверенностью можем сказать, что в силу того, что AB — не большая сторона (для а=1 можно проверить конструкцию ручками), угол AOB меньше 90. Осталось доказать, что существует a принадлежащий [1, phi), такой, что AC = a³. И здесь надо, пусть и на интуитивном уровне, воспользоваться не совсем школьной идеей — непрерывность!

Подсказка 5

Если мы уже знаем, что надо воспользоваться непрерывностью, то нам, наверное, хотелось бы доказать, что отрезок AC непрерывно изменяет длину при изменении a, ввести функцию g = |AC(a)| - a³, и доказать, что в одной из точек на выбранном промежутке, который содержится [1, phi), в одном конце значение g > 0, а в другом < 0. Но для осуществления этой идеи, нам, во-первых, надо доказать непрерывность изменения длины AC относительно а во-вторых, найти удобные концы отрезка и доказать, что в них разные по знаку значения. Как доказывать непрерывность изменения длины отрезка AC? От чего зависит длина AC по определению? И правда ли, что концы текущего отрезка подходят под наши нужды?

Подсказка 6

Во-первых, давайте поймём, что происходит с функцией g в точках 1 и phi. В точке 1 у нас значение равно √3 - 1 > 0. А в точке phi, длина отрезка AC < AB + BC = √(phi) + 1/√(phi) =(√(phi))³, а значит g(phi) < 0! Теперь осталось понять, почему у нас есть непрерывность и задача решена. Длина отрезка AC — по определению расстояние между точками A и С, значит, если мы докажем непрерывность изменения координат A и C, то, поскольку функция расстояния непрерывна, мы получим то, что нужно. А как связаны координаты A и C с а? После того, как вы это поймёте, непрерывность будет очевидна, и задача будет решена!