Введение векторов или координат в планиметрии

Пусть — некоторое положительное число. Треугольник со сторонами и существует тогда и только тогда, когда выполняются три неравенства:

Первое из этих неравенств выполнено при , второе — при всех положительных , третье — при , где — так называемое «золотое сечение», положительный корень квадратного уравнения . Следовательно, треугольник с такими сторонами существует при . При таких же существует треугольник со сторонами и . Пусть далее значение принадлежит отрезку .

В декартовой системе координат отметим точки , , точку в полуплоскости , для которой и , а также точку в полуплоскости , для которой и

По доказанному выше такие точки существуют для всех . Кроме того, треугольники и подобны по трем пропорциональным сторонам. Значит, и . Поскольку , угол , лежащий напротив стороны а треугольника , меньше . Отсюда получаем, что

Следовательно, — выпуклый четырехугольник при всех указанных значениях .

Пусть точка имеет координаты , тогда и . Из этих уравнений получаем

Эти выражения непрерывно зависят от на отрезке . Аналогично доказывается, что координаты точки также непрерывно зависят от на этом отрезке. Следовательно, длина диагонали четырехугольника , равная , также непрерывно зависит от на этом отрезке.

При треугольники и являются равносторонними со стороной 1 , поэтому . При получаем

Значит, непрерывная на отрезке функция принимает в концах этого отрезка значения разных знаков:

Поэтому найдется такое значение , при котором и, следовательно,