Уравнения и неравенства без логарифмов и тригонометрии на Физтехе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение:
Источники:
Подсказка 1
Давайте немного преобразуем уравнение: 2x⁴ - 3x²|x - 3| + (x - 3)² = 0. У вас не возникло никаких идей?
Подсказка 2
Давайте вспомним, что квадрат числа равен квадрату его модуля: 2x⁴ - 3x²|x - 3| + |x - 3|² = 0.
Подсказка 3
Если до сих пор не пришло никаких идей, скорее всего вы не знаете про однородные уравнения. Поделите на |x - 3|² (предварительно рассмотрев случай x = 3) и сделайте замену t = x²/|x - 3|. Теперь уравнение стало совсем простым, не так ли?:)
Рассмотрим уравнение:
Разделим решение на два случая в зависимости от значения выражения 
.
Случай 1: 
В этом случае 
. Подставим это в исходное уравнение:
Упростим выражение:
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
Теперь выделим два слагаемых следующим образом:
Покажем, что сумма 
всегда больше нуля:
1. Рассмотрим выражение 
. Заметим, что 
для всех 
, поэтому достаточно исследовать знак многочлена
.
Найдем дискриминант многочлена 
:
Поскольку дискриминант отрицателен (
), многочлен 
не имеет действительных корней и всегда положителен (так
как коэффициент при 
положителен). Следовательно, 
для всех 
.
2. Теперь рассмотрим выражение 
, которое также всегда неотрицательно и равно нулю только при 
.
Таким образом, сумма двух неотрицательных выражений, 
, всегда больше нуля для всех 
, кроме 
.
Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений в этом случае.
Случай 2: 
В этом случае 
. Подставим это в исходное уравнение:
Упростим выражение:
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
Заметим, что 
и 
являются корнями этого уравнения. Тогда разложим многочлен на множители:
1. Разделим 
на 
:
2. Разделим 
на 
:
Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде:
Теперь решим уравнение 
:
Найдем дискриминант:
Тогда корни уравнения:
Итак, решения исходного уравнения во втором случае: 
, 
, 
и 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
