Уравнения и неравенства без логарифмов и тригонометрии на Физтехе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1
Попробуем сначала привести выражение в скобках к общему знаменателю. Что можно заметить хорошего в получившемся числителе?
Подсказка 2
Верно! Так как a² = |a|², то в числителе получается полный квадрат! (|x-5|²-2)/|x-5|. Тогда мы видим, что знаменатель этой дроби почти не играет роли в неравенстве: он всегда неотрицателен! Его можно убрать, запомнив, что x ≠ 5! А что делать с оставшимся неравенством?
Подсказка 3
Конечно! Числитель преобразованной дроби тоже является полным квадратом и почти не влияет. Его можно убрать, запомнив, что зануляющие его x нам подходят, если не равны 5! Остается простое неравенство с модулями. Как его решать?
Давайте поработаем с первой скобкой:
Во-первых, очевидно, что модуль в знаменателе никак на неравенство не влияет. Можно его убрать, но запомнить, что . Числитель
является полным квадратом, а значит тоже не влияет. Разве что, нам будут интересны значения, которые этот квадрат зануляют, а это
, отправляем их в ответ и забываем про первую скобку.
Осталось неравенство . Его мы решим просто рассмотрением трёх случаев раскрытия модулей:
Откуда получаем . Учитывая ответы и ограничения из прошлых рассуждений, запишем окончательный ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Ясно, что при x ≥ 2/3 неравенство верно, так как правая часть отрицательна, а слева у нас модуль. Имеет смысл рассматривать неравенство при x < 2/3. При этом ясно, что рассматривать случаи раскрытия модули не лучшая идея, потому что хороших корней у многочлена под модулем нет. А что тогда можно сделать?
Подсказка 2
Верно! Давайте возведем в квадрат неравенство и напишем разность квадратов! Что тогда получится?
Подсказка 3
Мы получили неравенство (x³ - 2x² + 3x)(x³ - 2x² - 3x + 4) ≥ 0. Если из левой скобки вынести x, то получится x(x² - 2x + 3), и, как нетрудно видеть, выражение в скобках положительно, и на него можно просто сократить. Остается x(x³ - 2x² - 3x + 4) ≥ 0. А что делать со второй скобкой?
Подсказка 4
Конечно! Сумма коэффициентов при степенях x равна 0, значит, x = 1 — корень многочлена! Дело остается за малым, нужно разложить вторую скобку на множители и дорешать неравенство!
Ясно, что рассматривать разные случаи раскрытия модуля — не вариант, потому что у многочлена нет красивых корней. Тогда попробуем
возвести в квадрат и написать разность квадратов. Чтобы это преобразование стало равносильным, давайте поймём, что при
левая часть меньше
и неравенство очевидно верно. При
она неотрицательна и мы можем возводить в
квадрат:
Посмотрим на первую скобку, она равна . Ясно, что
, а значит это можно убрать из неравенства и от
скобки остаётся только
. Что касается второй скобки, внимательный читатель должен заметить, что
— корень многочлена, а
значит мы можем его разложить на множители так:
Итак, неравенство примет вид
Заметим, что скобки и
при
отрицательны, а их произведение положительно, то есть на него можно
поделить:
Получаем, что
Осталось совместить с предыдущими ответами и написать ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1
Корень из чего-то и модуль из чего-то всегда неотрицательны, но нас просят найти иксы, при которых левая часть неположительная —> явный намёк на оценку! Строго оцените левую часть – когда возможно, чтобы она была <0 или хотя бы =0?
Подсказка 2
Левая часть может максимум обнулиться! И обнулить её может лишь модуль, так что осталось решить кубическое уравнение (у которого, к слову, нетрудно отгадать корень). Получается, задачка решена?
Подсказка 3
Не забываем про ОДЗ! Подкоренное выражение должно быть неотрицательно! Да, проверять наши корни непосредственной подстановкой не очень приятно, но попробуйте вычесть из подкоренного выражения заведомо неотрицательное выражение, чтобы избавиться от неприятного x^3. Немножко счёта, и задачка убита!
ОДЗ: .
На ОДЗ корень неотрицателен, так что первая скобка положительна. Вторая неотрицательна, поэтому неравенство достигается только в случае, если вторая скобка равна нулю, то есть
Осталось проверить, что найденные значения входят в ОДЗ неравенства. Раз уж при найденных выражение под модулем равно
, то
вычтем его из выражения под корнем, в итоге требуется
. Для
и
это неверно, проверим третий
корень:
Получаем единственное решение.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Перепишем неравенство
Заметим, что мы получили квадратный трёхчлен от . У него можно попробовать угадать корни, а можно пойти честно через
дискриминант
Получаем разложение на скобки
Домножим неравенство на произведение скобок , получим
Заметим, что для первой скобки и для третьей
, откуда неравенство можно переписать в
виде
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Попробуем в части без модуля выделить квадрат суммы (не обязательно задействовав все слагаемые).
Подсказка 2
Выделяем x² - 8x + 16 = (x - 4)². Заметим, что |x-4|² = (x-4)². Используя это, представим выражение в виде произведения двух скобок.
Подсказка 3
Теперь рассмотрим все случаи, учитывая, что это выражение равно 0. Не обязательно во всех случаях будут решения, но в целом они найдутся!
Значит, либо корней нет, либо
(корни
), либо
(решений нет), либо
(решения 1 и
).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение:
Источники:
Подсказка 1
Давайте немного преобразуем уравнение: 2x⁴ - 3x²|x - 3| + (x - 3)² = 0. У вас не возникло никаких идей?
Подсказка 2
Давайте вспомним, что квадрат числа равен квадрату его модуля: 2x⁴ - 3x²|x - 3| + |x - 3|² = 0.
Подсказка 3
Если до сих пор не пришло никаких идей, скорее всего вы не знаете про однородные уравнения. Поделите на |x - 3|² (предварительно рассмотрев случай x = 3) и сделайте замену t = x²/|x - 3|. Теперь уравнение стало совсем простым, не так ли?:)
Рассмотрим уравнение:
Разделим решение на два случая в зависимости от значения выражения .
Случай 1: 
В этом случае . Подставим это в исходное уравнение:
Упростим выражение:
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
Теперь выделим два слагаемых следующим образом:
Покажем, что сумма всегда больше нуля:
1. Рассмотрим выражение . Заметим, что
для всех
, поэтому достаточно исследовать знак многочлена
.
Найдем дискриминант многочлена :
Поскольку дискриминант отрицателен (), многочлен
не имеет действительных корней и всегда положителен (так
как коэффициент при
положителен). Следовательно,
для всех
.
2. Теперь рассмотрим выражение , которое также всегда неотрицательно и равно нулю только при
.
Таким образом, сумма двух неотрицательных выражений, , всегда больше нуля для всех
, кроме
.
Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений в этом случае.
Случай 2: 
В этом случае . Подставим это в исходное уравнение:
Упростим выражение:
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
Заметим, что и
являются корнями этого уравнения. Тогда разложим многочлен на множители:
1. Разделим на
:
2. Разделим на
:
Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде:
Теперь решим уравнение :
Найдем дискриминант:
Тогда корни уравнения:
Итак, решения исходного уравнения во втором случае: ,
,
и
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения переменной , при каждом из которых оба выражения
и
определены, причём
.
Источники:
ОДЗ: . Последнее условие эквивалентно тому, что каждая функция на ОДЗ больше
. Поскольку обе функции неотрицательны, то неравенство автоматически выполнено при
,
откуда с учётом ОДЗ получаем решения
, далее
, тогда можем возвести ограничения на функции в
квадрат
Поскольку изначально , то остаются только
. Объединяя с первым промежутком, получаем
ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1
Знаменатель выглядит страшно.. квадраты, модули, квадраты модулей, брр. Давайте попробуем как-нибудь его упросить. На что похож наш знаменатель?
Подсказка 2
На квадратное уравнение относительно x^2-4|x|. Попробуйте разложить его на множители исходя из этого.
Подсказка 3
Теперь нам надо разобраться с числителем. Вспомните, что у нас неравенство, а не уравнение, и замените числитель на выражение, которое совпадает с ним знаком.
Подсказка 4
Разность кубические корней двух чисел имеет тот же знак, что и обычная разность этих чисел! Теперь осталось только воспользоваться методом интервалов!
Рассмотрим знаменатель дроби. Его можно записать в виде
А если обозначить то в виде
Если вернуться обратно к переменной выходит выражение
Итак, исходное неравенство равносильно следующему
В этом неравенстве необходимо сравнить дробь с нулём, или, что то же самое, определить знак этой дроби. Поэтому если мы заменим числитель или любой из множителей в знаменателе выражением того же знака, то получим неравенство, равносильное исходному.
Заметим, что знак выражения совпадает со знаком выражения
при любых
и
выражение
при
положительно, а при
его знак совпадает со знаком выражения
Следовательно, неравенство
равносильно
Метод интервалов, применённый к последнему неравенству, даёт
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Видим какие-то не очень приятные корни... Так под корнем ещё один корень. Давайте попробуем облегчить себе жизнь хоть немного. Видим, что под обоими большими корнями есть общий корень. Какое тогда действие напрашивается сделать?
Подсказка 2
Верно, давайте сделаем замену t=√(x+1), где t — неотрицательный. Далее после преобразований получим выражение с модулем и корнем. С первого взгляда не совсем понятно, что с этим теперь делать... Но не можем ли мы снова сделать замену корня?
Подсказка 3
Конечно можем, ведь тогда t легко выражается через замену. Остаётся теперь только аккуратно решить это квадратное неравенство с модулем и совершить обратные замены. После чего мы и получим решение для x.
Сделаем замену , получим
Сделаем ещё одну замену , получим
Учитывая ограничения
Остаётся вернуться к первоначальной переменной
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
С корнем можно разобраться потом, давайте сделаем замену t = √x.
Подсказка 2
Что можно сделать с модулем? Надо ли его раскрывать?
Подсказка 3
Заметим, что t² - t + 2 = (t - 1/2)² + 7/4.
ОДЗ: Сделаем замену
Заметим, что Следовательно
Учитывая
Замечание. Также можно заметить, что и сделать замену
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Хотелось бы избавиться от знаменателя, но в нем есть переменная, поэтому не понятно, можно ли на него умножать. Какие значения принимает знаменатель на ОДЗ?
Подсказка 2
Отрицательные! Домножим обе части неравенства на знаменатель, не забыв поменять знак. Теперь остается просто аккуратно решить неравенство!
ОДЗ:
Заметим, что на ОДЗ знаменатель дроби отрицателен, поэтому можем обе части неравенства на него домножить, поменяв при этом знак неравенства. Тогда
откуда . С учётом ОДЗ окончательно получаем
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Хм, у нас есть x² - 16 и корень этого выражения... Можно ли упростить неравенство?
Подсказка 2
На ОДЗ корень всегда не меньше 0, значит, можно сначала рассмотреть равенство, а потом поделить!
ОДЗ данного неравенства - это множество .
Рассмотрим два случая.
a) При неравенство выполнено (получаем
).
б) При делим обе части неравенства на положительное число
и получаем
С учётом условия, получаем .
Объединяя результаты, находим .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Возводить сразу в квадрат нехорошо, так как мы не знаем знак правой части. Слева же у нас всегда положительное число из-за корня. Давайте обратим внимание на знак неравенства. А возможно ли вообще такое, что правая часть отрицательная? В чём будет противоречие?
Подсказка 2
Верно, ведь тогда решений просто не будет. Действительно, правая часть меньше нуля, но тогда и левая тоже. Но такое невозможно! Значит, правая часть положительна, откуда получается ограничение на x. Теперь уже можно перемножить крест накрест выражения и возвести в квадрат. У нас получилось квадратное уравнение с простеньким модулем. Что же тогда остаётся сделать?
Подсказка 3
Да, давайте просто рассмотрим два случая раскрытия модуля. Нужно будет решить два раза квадратное неравенство и победа! Только не забудьте про ограничение.
Если то неравенство не выполняется, поэтому
Отсюда обе дроби положительны и неравенство можно переписать в
виде
Рассмотрим случаи
-
, здесь
Пересекая с условием, имеем
.
-
, тогда
Дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, решений нет.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Запишем ОДЗ:
Теперь преобразуем исходное неравенство
Докажем, что знаменатель всегда отрицательного знака
Следовательно, исходное неравенство равносильно
Заметим, что если т.е.
то неравенство верно, т.к. левая часть неотрицательна. Теперь рассмотрим случай
возведём неравенство в квадрат.
Но т.к. то
Объединим все случаи и учтём ОДЗ, в итоге получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить неравенство
Источники:
Подсказка 1
Видим корни - про что сразу думаем?
Подсказка 2
Про ОДЗ! Но на наше счастье это просто x ∈ ℝ. Что стараемся делать в неравенстве с корнями?
Подсказка 3
Поскорее избавляемся от них :) То есть возводим обе части в квадрат, но всегда ли мы можем это делать?
Подсказка 4
Возводить в квадрат можем только если в левой и правой части стоят выражения одного знака (другие случаи нужно отдельно рассматривать). То есть можно одно из слагаемых перенести в другую часть, чтобы знаки всегда одинаковые были
Подсказка 5
А после этого можно просто рассмотреть случаи раскрытия модуля и решить получающиеся неравенства при помощи напрашивающейся замены. Не забудьте сделать обратную замену и учесть ОДЗ!
Так как под корнями стоят выражения, которые при любых больше нуля, то ОДЗ эта вся вещественная ось. Перенесем слагаемое с
минусом в левую часть и сделаем преобразования.
Возведем в квадрат, в левой и правой части стоят положительные числа
Рассмотрим случай, когда тогда:
Теперь рассмотрим случай, когда
Сделаем заммену
Возведем в квадрат
Решая это квадратное уравнение, получим, что Делая обратную замену, получаем, что
Так как то итоговый ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите сумму всех решений уравнения
Подсказка 1
Так, перед нами уравнение, где используется переменная и её целая часть. Что мы обычно делаем в таких случаях? А, да, точно, давайте представим переменную в виде суммы её целой и дробной части. (т.е. введём a = [x] и b = {x})
Подсказка 2
Немного подумаем. Да, очевидно, что 40 * b ∈ [0, 40) ≥ (a² + 40*a + 336) ∈ (-40, 0]. Получаем систему неравенств, которые надо решить в целых числах. Да...звучит непросто, но мы же суровые ребята, находим все значения а, к каждому из них найдём b, далее складываем всё, что получилось и уверенно пишем ответ!!!
Пусть тогда получаем уравнение
Нам требуются такие значения , что
, то есть
. Решая это неравенство в целых
числах, находим решения
. В пару к каждому находим
, получаем
. Остаётся записать ответ, используя
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ: . После замены
получаем уравнение
Если , то
Если , то
Итого, нам нужны такие, что