Тема Алгебраические текстовые задачи

Задачи на дроби

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#97781

Оля за вечер потратила какое-то время на учебу, на просмотр фильма и на готовку еды. А на отдых она потратила столько же времени, сколько в сумме потратила на учебу, фильм и готовку. Если бы она потратила в два раза больше времени на учебу, то на отдых осталось бы на $1 3$ меньше времени. Если бы она потратила на просмотр фильма в два раза больше времени, то на отдых осталось бы на $1 6$ меньше времени. А на какую часть меньше времени осталось бы на отдых, если бы она потратила в два раза больше времени на готовку? Ответ запишите в виде десятичной дроби и округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Пусть время на работу равно $t$ , а время на отдых тоже равняется $t.$

Обозначим за дополнительное время то время, которое Оля теряет в отдыхе.

Тогда по условию, если она тратит в два раза больше времени на учебу, то дополнительное время равно $1 3$ от времени отдыха. То есть, если к времени работы добавить еще одно время на учебу, то дополнительное время равно $1 3t.$

Также по условию, если она тратит в два раза больше времени на фильм, то дополнительное время равно $1 6$ от времени отдыха. То есть, если к времени работы добавить еще одно время на фильм, то дополнительное время равно $1 6t.$

Пусть дополнительное время на готовку составляет $n$ частей от отдыха. Тогда дополнительное время равняется $1 nt.$ Заметим, что если взять все дополнительные времена из каждого пункта и сложить, то получится общее время работы, то есть $t.$ Тогда получили следующее уравнение:

1 1 1 3 t+ 6t+ nt= t

Так как $t$ есть в каждом элементе уравнения, то его можно не писать.

1 + 1+ 1= 1 3 6 n

1 = 1− 1− 1 n 3 6

-1 6−-2−-1 n = 6

1 3 1 n = 6 = 2

n= 2

Тогда дополнительное время на готовку составляет $1t 2$ , то есть половину от всего времени. Значит, время на отдых стало меньше на $1 2$ от всего времени.

Варианты правильных ответов:

0.5
0,5
0.50
0,50

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#41591

Можно ли из дробей $1∕2017,2∕2016,3∕2015,...,2017∕1$ выбрать три, произведение которых равно $1?$

В ответе укажите “да” или “нет”.

Источники: Муницип - 2021, 7 класс

Показать ответ и решение

Например, $1= (1∕2017)⋅(1009∕1009)⋅(2017∕1).$

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#41588

У Алисы есть два контейнера. Первый был наполнен водой на $5∕6$ от своего объема, а второй — пустой. Она перелила всю воду во второй контейнер. После этого второй контейнер оказался наполнен на $3∕4$ своего объема. Чему равно отношение объемов первого и второго контейнеров?

Ответ дайте в виде десятичной дроби, дробную часть отделяйте запятой.

Источники: Муницип - 2020, Республика Татарстан, 7.3

Показать ответ и решение

Нам известно, что $5∕6$ от объёма первого контейнера составляют $3∕4$ объёма второго контейнера. Обозначим объёмы через $x$ и $y$ , получим равенство

5 3 x 9 6x= 4y, 20x= 18y, y = 10.

Значит, отношение объёмов составляет $9:10$ .

Ответ: 0,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#77821

В школе имеется три кружка: по математике, по физике и по информатике. Директор как-то заметил, что среди участников кружка по математике ровно $1 6$ часть ходит ещё и на кружок по физике, а $1 8$ часть – на кружок по информатике; среди участников кружка по физике ровно $1 3$ часть ходит ещё и на кружок по математике, а ровно $1 5$ – на кружок по информатике; наконец, среди участников кружка по информатике ровно $1 7$ часть ходит на кружок по математике. А какая часть участников кружка по информатике ходит на кружок по физике?

Источники: ОММО - 2019, 11.9

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут самое важное не запутаться в вычислениях. Для этого удобно будет обозначить кол-во информатиков за x. Как можно теперь выразить кол-во человек например в кружке по математике?

Подсказка 2

Из кол-ва людей, которые ходят в два кружка, мы умеем получать кол-во людей в самом кружке! Вот как здесь поступим: раз x на информатике, то x/7 на инфе и на математике. А тогда, 8x/7 - кол-во человек на математике, потому что x/7 должно быть 1/8 от этого кол-ва! Проделайте аналогичные действия со всеми кружками и получите нужную долю)

Показать ответ и решение

Пусть участников кружка по информатике $x;$ тогда детей, которые ходят одновременно на кружок по математике и информатике $x; 7$ тогда участников кружка по математике $8x- 7 ,$ а детей, которые ходят одновременно на кружок по математике и по физике $−$ $4x 21;$ тогда участников кружка по физике $4x 7 ,$ а детей, которые ходят одновременно на кружок по информатике и по физике $−$ $4x 35.$

Ответ:

$-4 35$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#39316

Рыцарский турнир длится ровно $7$ дней. К концу четвертого дня сэр Ланселот не успел сразиться лишь с одной четвертью от общего числа участников турнира. А сэр Тристан к этому времени сразился ровно с одной седьмой из тех рыцарей, с кем успел сразиться сэр Ланселот. Какое минимальное количество рыцарей могло участвовать в турнире?

Источники: Школьный этап - 2018, Москва, 8.3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим количество участников турнира за x, как тогда записать условие?

Подсказка 2

Тогда сэр Ланселот сразился с 3x/4 участниками, а сэр Тристан с 3x/28. Какие-то дроби, а количество участников вроде целое...на что тогда должен делиться x и какой тогда он?)

Показать ответ и решение

Пусть в турнире участвовало $x$ рыцарей. Тогда к концу четвёртого дня сэр Ланселот сразился с $3x∕4$ участниками, а сэр Тристан с $3x∕28$ . Оба числа должны быть целыми, а значит, $x$ должно делиться на $28$ . То есть $x ≥28$ .

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#42931

На железнодорожной платформе с утра собралось много народа в ожидании электрички. На первой электричке уехала десятая часть всех ожидавших, на второй — седьмая часть оставшихся, а на третьей - пятая часть оставшихся. Сколько пассажиров было на платформе первоначально, если после отхода третьей электрички там осталось 216 пассажиров?

Источники: Муницип - 2018, 7 класс

Показать ответ и решение

Пусть изначально людей было $n$ . Тогда после первой электрички их осталось $-9n 10$ , после второй — $9-⋅ 6n 10 7$ , а после третьей — $-9 6 4 10 ⋅ 7 ⋅5n= 216$ . Отсюда

3 9⋅6⋅4n= 6 ⋅10⋅7⋅5 =⇒ n =350

Ответ: 350

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#47044

Однажды два друга вложили деньги в общее дело: каждый вложил свою сумму, а вместе — $1$ млн руб. За ночь один из них вложил в то же дело дополнительную сумму. Сколько всего денег он вложил в итоге, если его новая доля в общем деле оказалась в $7$ раз больше прежней, тогда как доля другого - в $3$ раза меньше прежней?

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва, конечно же, надо обозначить что-нибудь. Как можно удобно ввести переменные?

Подсказка 2

Поскольку в задаче в основном фигурирует первый друг, то логично обозначить переменными вложенные им суммы. После этого получится система двух уравнений с двумя неизвестными, решая которую, получаем ответ на задачу!

Показать ответ и решение

Пусть изначально первый вложил $x$ миллионов рублей, а второй $1− x$ миллион рублей. После чего первый вложил ещё $y$ миллионов, тогда получим систему

{ 7x= x+y 1−x 1+1y−x =⇒ 7x+ 1−-x= 1 ⇐⇒ 21x+1 − x =3 ⇐ ⇒ x =0.1 3 = 1+y 3

Из второго уравнения $y =2$ миллиона, тогда всего первый вложил $x+ y = 2.1$ миллионов.

Ответ:

$2 100 000$ рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#89254

Ваня налил себе полный стакан смеси кофе с молоком. Сначала, выпив половину смеси, он долил в стакан доверху кофе и перемешал. Затем, выпив половину новой смеси, долил в стакан доверху молоко и вновь перемешал. Доля кофе в полученной смеси оказалась равной доле кофе в исходной. Найдите эту долю.

Показать ответ и решение

Примем за 1 объем всей чашки. Пусть x - доля кофе в чашке вначале. Ваня выпил половину смеси, потом долил только кофе и перемешал, теперь количество кофе в чашке равно $x∕2+ 1∕2 =(x+ 1)∕2$ . Затем он снова отпил половину смеси и доливал только молоко, количество кофе в этом случае равно $(x+1)∕2∕2 =(x+ 1)∕4$ . По условию, последнее выражение равно $x$ :

(x +1)∕4 =x x+ 1= 4x x= 1∕3

Ответ: 1 / 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#34976

Известно, что числитель и знаменатель дроби являются цифрами, дающими в сумме число большее 12. Также известно, что, если числитель увеличить на 10, а знаменатель увеличить в три раза, то дробь увеличится. Найдите все такие дроби.

Показать ответ и решение

Обозначим дробь за $x y$ . Тогда известно, что $x+ y ≥13$ и $x-+10 > x 3y y$ .

Из последнего неравенства получаем, что $10y > 2xy$ , то есть $x <5$ .

Так как $y ≤ 9$ , то $x≥ 4$ (из первого неравенства). Следовательно, $x= 4$ , $y = 9$ .

Ответ: 4/9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#34977

В турнире по шахматам участвуют мастера спорта и кандидаты в мастера. Какое наименьшее число людей может участвовать в этом турнире, если известно, что среди них мастеров меньше половины, но больше 45%?

Показать ответ и решение

Пусть в турнире участвуют $n$ шахматистов и $k$ из них — мастера. По условию $0,9n< 2k< n$ . Отсюда $0,1n >2k− n >0$ . $2k− n$ — целое число, значит, оно не меньше 1. Следовательно, $0,1n > 1$ , $n > 10$ .

Случай $n= 11$ подходит: в турнире могут играть 5 мастеров и 6 кандидатов.

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#34978

Петя тратит $1 3$ своего времени на игру в футбол, $1 5$ — на учебу в школе, $1 6$ — на просмотр кинофильмов, $1- 70$ — на решение олимпиадных задач и $13$ — на сон. Можно ли так жить?

Показать ответ и решение

Посчитаем сумму всех дробей. Заметим, что $1 + 1 + 1+ 1> 2 +2 ⋅ 1= 1 3 5 6 3 3 6$ . Противоречие.

Ответ: Нет

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#34979

Числитель и знаменатель дроби — натуральные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит $1 3$ . Укажите наибольшее возможное значение такой дроби.

Показать ответ и решение

Сумма числителя и знаменателя равна 101. Значит, чем больше числитель дроби, тем меньше её знаменатель — и тем больше сама дробь (так как и числитель и знаменатель – положительные числа). $25 76$ ещё меньше $1 3$ , а $26 75$ — уже больше.

Ответ: 25/76

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#34980

Вася решал пример на сложение двух дробей $a b$ и $c d$ , где $a,b,c,d−$ некоторые числа, отличные от 0 . Однако он спутал и вместо сложения верно выполнил умножение этих дробей. При этом ответ у Васи совпал с ответом в задачнике. Выясните, чему в таком случае равна сумма дробей $b a$ и $d c$ .

Показать ответ и решение

По условию, $a + c= a⋅ c b d b d$ , отсюда $ad+bc= ac,ad+ bc= ac bd bd$ Поделив на $ac$ , получаем $d+ b =1. c a$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#34981

Найдите все несократимые дроби, увеличивающиеся вдвое после увеличения и числителя, и знаменателя на 10

Показать ответ и решение

Пусть $2a = a+-10- b b+ 10$ .

Тогда

$2a(b+ 10)= b(a+ 10)$

$a(b+ 20)= 10b$ .

Отсюда видно, что $a$ является делителем 10 (по условию у $b$ и $a$ нет общих делителей). При $a= 1$ и $a= 10$ целых значений не получается; при $a= 2$ получаем $b= 5$ , а при $a= 5$ $b =20$ . Последний случай не годится — дробь сократима.

Ответ: 2/5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#34982

Карлсон написал дробь $10- 97$ . Малыш может:

1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,

2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь,

а) равную $1 2$ ? б) равную 1?

Показать ответ и решение

а) Умножение числителя и знаменателя на одно число не влияют на величину дроби. Поэтому задача сводится к уравнению $2(10 +x)= 97+ x$ , откуда $x =77$ .

б) Дробь равна единице, если её числитель и знаменатель равны. А Малыш не сможет из неравных чисел сделать равные.

Ответ: а) сможет; б) не сможет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#34983

Какое наименьшее число участников может быть в математическом кружке, если известно, что девочек в нем меньше 50%, но больше 40%?

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — число всех участников кружка, а $d$ — число девочек.

По условию $0,4n <d <0,5n$ . Если $n$ нечётно, то число $0,5n$ — полуцелое, следовательно, $0,1n >0,5$ , откуда $n >5$ . Наименьшее такое $n$ равно 7. И при $n= 7$ , $d= 3$ все выполняется.