Тема Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Сравнение чисел

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела неравенства без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130308Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее целое число, меньшее числа $√7+ √8.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как Вы думаете, какими числами удобно ограничить сумму √7 + √8? Может, надо как-то её увеличить и уменьшить?

Подсказка 2

А если взять суммы √7 + √7 и √8 + √8?

Подсказка 3

Оцените числа 2√7 и 2√8. Для удобства можно занести двойки под корни.

Показать ответ и решение

Заметим, что

√- √ - √ - √- 2 7 < 7+ 8< 2 8

Оценим число $2√7-$ снизу:

2√7-= √28> √25= 5

Оценим число $√ - 2 8$ сверху:

2√8-= √32< √36= 6

Получаем цепочку неравенств:

√- √ - √ - √- 5< 2 7 < 7+ 8< 2 8< 6

Отсюда видим, что наибольшее целое число, меньшее числа $√- √- 7 + 8$ — это 5.

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#131015Максимум баллов за задание: 7

Какое из следующих двух чисел больше: $4+ 2- 5 11$ или $6+ 1? 7 8$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 255, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала было бы неплохо сложить дроби.

Подсказка 2

Обратите внимание, что обе получившиеся дроби близки к единице. Как это может нам помочь при сравнении?

Подсказка 3

Попробуйте оценить расстояние от каждой из дробей до единицы!

Показать ответ и решение

Чтобы сравнить два числа, найдем их значения.

Вычислим первое число:

4 2 4⋅11+ 2⋅5 44+ 10 54 5 + 11 =--55----= --55--= 55

Вычислим второе число:

6 1 6 ⋅8 +1⋅7 48 +7 55 7 + 8 =--56--- = -56--= 56-

Теперь нам нужно сравнить получившиеся дроби. Сделать это можно, сравнив их “расстояние” до единицы.

Для первой дроби:

54= 1− -1 55 55

Для второй дроби:

55= 1− -1 56 56

Так как $-1 > 1, 55 56$ то из единицы мы в первом случае вычитаем большее число, а, значит, получаем меньший результат.

1− 1-< 1− 1- 55 56

Следовательно,

4+ 2-< 6 + 1 5 11 7 8

Ответ:

$6 + 1 7 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#132595Максимум баллов за задание: 7

Какое из следующих двух чисел больше: $∘ 20- 13 7 + 3$ или 6?

Источники: ДВИ - 2025, вариант 256, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим сравнить 2 положительных числа, то можно посмотреть на их квадраты. А как это сделать более удобно в нашей задаче? Не хотелось бы возводить сумму в квадрат...

Подсказка 2

Вычтите из обоих чисел 13/3. Останется только сравнить две дроби, например, приведя их к общему знаменателю.

Показать ответ и решение

Вычтем из обоих чисел $13 3$ и сравним $∘ 20- 7$ с $5 3.$

Возведем оба числа в квадрат, тогда если, например, квадрат первого числа окажется больше квадрата второго, то можно сделать вывод, что первое число больше второго, так как они положительные. Получим $20 7-$ и $25 9-.$ Осталось лишь привести их к общему знаменателю:

20 20⋅9 180 7-= -7⋅9 =-56

25= 25⋅7 = 175 9 9⋅7 56

Квадрат первого числа больше, следовательно, первое число больше.

Ответ:

Первое число больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#64371Максимум баллов за задание: 7

Какое из чисел $55 21$ и $95 28$ ближе к $3?$

Показать ответ и решение

Расстояние между двумя числами это модуль их разности.

||55 || 8- ||21 − 3||= 21

|| || ||95− 3||= 11 28 28

-8 ? 11 21 28

8⋅28= 224< 11⋅21= 231

Значит, $55 21$ ближе.

Ответ:

$55 21$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#77199Максимум баллов за задание: 7

Сравните числа:

10 10 (10!) и (10 )!

Напомним, что через $n!$ обозначается произведение $1⋅2⋅3 ⋅...⋅n$ .

Показать ответ и решение

Левая часть это $10!$ десять раз. А правая часть это:

10 10 10 10 10 10 (10 )!= 10 ⋅(10 − 1)⋅(10 − 2)⋅(10 − 3)⋅...(10 − 9)⋅...⋅1

Тогда сравним $1010 − 9 и 10!$ .

9 10 10!= 1⋅2⋅3⋅...⋅10< 10⋅10⋅10⋅...⋅10= 10 < 10 − 9.

(Заменили каждый множитель $10!$ на $10$ )

Тогда можно сказать, что правая часть больше левой.

Ответ:

$(10!)10 <(1010)!$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#35301Максимум баллов за задание: 7

Что больше: $19!$ или $1019$ ?

Показать ответ и решение

Разобьём множители в левой части на пары: $1$ и $19$ , $2$ и $18$ , и т.д. В общем виде: $10− k$ и $10+k$ . Сравним: $2 2 2 (10− k)(10 +k)= 10 − k < 10$ . Таким образом, произведение в каждой паре меньше $2 10$ , значит, правая часть будет больше.

Ответ: 10^19 больше

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#35302Максимум баллов за задание: 7

Что больше: $9992$ или $1013$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Числа 999 и 101 не очень удобно возводить в степень. Можно ли оценить их как-то числами, которые легко возвести в степень?

Подсказка 2

Число 999 меньше 1000. А 1000 легко возводится в квадрат! Можно ли похожую оценку привести для числа 101?

Показать ответ и решение

В данном случае очень удобно сравнить оба числа с миллионом. Выполнены неравенства

2 2 3 3 999 < 1000 = 100 < 101,

поэтому правая часть больше.

Ответ: Второе выражение больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#35303Максимум баллов за задание: 7

Что больше: $100!$ или $9999$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В выражении 100! почти все сомножители меньше 99, причем значащих сомножителей (больших 1) там ровно 99. Попробуем тогда попытаться доказать, что 100! меньше.

Подсказка 2

Верно! Как уже было отмечено, почти все сомножители меньше 99, так что неравенство почти доказано. Однако сомножитель 100 мешает. Возможно, если объединить его с каким-то другим сомножителем a в выражении 100! получится доказать, что 100a достаточно мало?

Подсказка 3

Верно! Очевидно, что 2×100 < 99×99. Как теперь доказать неравенство?

Показать ответ и решение

Заметим, что $100⋅2 <99⋅99$ . Тогда

99 100!=2 ⋅99⋅3⋅4⋅...⋅98< 99 .

Ответ:

Второе число больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#35305Максимум баллов за задание: 7

Сравните числа $10000015$ и $99 9996$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что

5 5 30 6 6 1000001 >1000000 = 10 = 100000 > 99999 .

Ответ:

$10000015 > 999996$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#35306Максимум баллов за задание: 7

Сравните числа $(202)!$ и $(20!)2$ .

Подсказки к задаче

Подсказка

В выражении (20!)² всего 40 сомножителей, а в произведении (20²)! целых 400 сомножителей, причем многие из них очень большие. Можно ли выбрать из (20²)! несколько больших сомножителей и доказать, что оно больше?

Показать ответ и решение

2 2 2 (20 )!=400!>1 ⋅2...⋅40 >(1⋅2...20) =(20!).

Ответ: Первое число больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#35307Максимум баллов за задание: 7

Если к числу 100 применить 99 раз операцию “факториал”, то получится число A. Если к числу 99 применить 100 раз операцию “факториал”, то получится число B. Какое из этих двух чисел больше?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче к числам 99 и 100 операция "факториал" применяется разное количество раз. А можно ли вместо этих чисел рассмотреть какие-то другие так, чтобы операцию факториал к ним можно было применить одинаковое число раз?

Подсказка 2

Верно! Вместо 99 можно рассмотреть 99! и применить к нему операцию 99 раз. Какое тогда из чисел больше?

Показать ответ и решение

Заметим, что $99!> 100$ . Применив к обеим частям неравенства 99 раз операцию “факториал”, получаем требуемое неравенство.

Ответ: Число В больше

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#64521Максимум баллов за задание: 7

Определите, какое из двух чисел больше: $∘3-+2√2 +∘3-−-2√2-$ или $3.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 223, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно сравнивать между собой положительные числа? Как мы можем избавиться от некоторых корней?

Подсказка 2

Можно просто сравнить квадраты данных чисел!

Показать ответ и решение

∘ ---√-- ∘ ----√- a= 3+ 2 2+ 3− 2 2> 0

2 √ - ∘ ----√- ∘ ---√-- √- ∘ 2----√-2- a = 3+2 2+2 ⋅ 3+ 2 2⋅ 3− 2 2 +3− 2 2= 6+ 2⋅ 3 − (2 2) =8

Поскольку $a> 0$ , то $a= √8 <3 =√9-$ .

Ответ: второе

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#64523Максимум баллов за задание: 7

Определите, какое из двух чисел больше: $√315$ или $9√14.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 226, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Заметим, что 9 можно представить как √3 в некоторой целой степени, после этого мы сможем перейти к сравнению показателей) А чтобы сравнить получившиеся показатели степени, удобно будет просто сравнить их квадраты

Показать ответ и решение

Чтобы сравнить было проще, сделаем одинаковыми основания, используя $9= √34$ , тогда нам требуется сравнить $√315$ и $√34⋅√14-$ , или, что то же самое, $15$ и $√-- 4⋅ 14$ . Достаточно возвести равенство в квадрат, тогда $2 2 15 = 225> 4 ⋅14 =224$ , откуда первое число больше.

Ответ: первое

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#64524Максимум баллов за задание: 7

Определите, какое из двух чисел больше: $√3+ √7+ √21$ или $9.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 227, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Корней очень много, поэтому от них надо избавляться путем возведения в квадрат!

Показать ответ и решение

Покажем, что второе число больше. Перепишем неравенство в виде

√- √- √-- √- √- √- √- √ - √ - √- 3+ 7+ 21< 9⇐ ⇒ 7+ 21< 9− 3⇐ ⇒ 7(1 + 3) < 3(3 3− 1)

Далее возведём в квадрат

√-2 √- 2 √ - √ - 7(1+ 3) <3(3 3− 1) ⇐ ⇒ 7+ 14 3+21< 81− 18 3+3 ⇐⇒

⇐ ⇒ 32√3-< 56⇐⇒ 4√3 <7 ⇐⇒ 48< 49

Последний переход также был возведением в квадрат. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: второе

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#92993Максимум баллов за задание: 7

Сравните числа $100-⋅ 102-⋅...⋅ 1020-⋅ 1022- 101 103 1021 1023$ и $5. 16$

Источники: ПВГ - 2022

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем как-то телескопировать произведение в левой части неравенства. Для этого умножим его на число B = 101/102 × 103/104 × ... × 1023/1024. Пусть левая часть неравенства равна A. Можно ли сравнить A и B?

Подсказка 2

Конечно, n/(n+1) < (n+1)/(n+2), поэтому A < B! Теперь, зная число AB, можно ли доказать неравенство?

Показать доказательство

Заметим, что $-n-< n+1. n+1 n+2$ Поэтому

100 102 1020- 1022 A = 101 × 103 × ...× 1021 × 1023 <

101 103 1021 1023 < 102 × 104 × ...× 1022-× 1024-=B

Перемножив и сократив дроби, получим $( ) A ×B = 1100204 =22556 = 5162.$ С другой стороны, поскольку $A <B,$ то $( ) A2 < A× B = 516-2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#48745Максимум баллов за задание: 7

Что больше: число $3∘5√13-+18− 3∘5-√13−-18-$ или наибольший корень уравнения $x2+$ $2020x− 6069 =0$ ?

Источники: ПВГ-2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы можем просто найти второе число! Например, по теореме Виета можно найти наибольший корень этого квадратного уравнения.

Подсказка 2

Давайте обозначим первый страшный корень за а, а второй за б. Тогда заметим, что мы можем найти аб и а³-б³! А нам как раз надо найти а-б, а мы можем попробовать найти (а-б)³!

Подсказка 3

Если обозначить а-б за х, то мы можем получить кубическое уравнение, которое у вас получится решить и сравнить два числа!

Показать ответ и решение

Наибольший корень уравнения $x2+ 2020x− 6069= 0$ равен $3$ ( $− 2023+3 =− 2020,−2023⋅3= −6069 =⇒$ по обратной теореме Виета числа $3$ и $− 2023$ являются корнями уравнения $2 x +2020x − 6069= 0).$

Обозначим $∘3-√------ 3∘ -√------ a = 5 13+ 18,b= 5 13− 18.$

Отметим, что $3 3 3∘--√--2----2 3√------- a − b = 18− (−18)=36,a⋅b= (5 13) − 18 = 325− 324 =1.$ Тогда имеем:

(a− b)3 = a3− 3a2b+ 3ab2− b3 = (a3− b3)− 3ab(a− b)=36− 3(a − b)

Получается, что число $a− b$ является одним из корней уравнения

3 t = 36− 3t

которое равносильно

t3− 3t2+ 3t2− 9t+12t− 36 =0 ⇐ ⇒ (t− 3)(t2+ 3t+12)= 0

Так как $t2+3t+ 12= 0$ не имеет действительных корней, то единственным корнем уравнения является $t= 3.$

В итоге $a− b=3.$

Ответ:

ничего, эти числа равны

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#48739Максимум баллов за задание: 7

Что больше:

23 41- 71- 1 или 93 + 165 + 143?

Источники: ОММО-2019, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, можно привести правую часть неравенства к общему знаменателю, но нужно ли… Можем ли мы как-то оценить каждое слагаемое справа по отдельности?

Подсказка 2

Давайте попробуем как-то оценить сумма справа! Например, заметим, что 93 это почти 92 (23*4), 165 почти 164 (41*4), а 143 почти 142 (71*2). Попробуйте применить это знание на практике!

Подсказка 3

23/93 < 1/4; 41/165 < 1/4; 71/143 < 1/2. Что можно сказать про сумму?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Можно, конечно, привести всё к общему знаменателю, но делать этого не хочется, поскольку надо будет много считать. Давайте лучше оценим каждое слагаемое по отдельности:

23 23 1 93 < 92 = 4

41 41 1 165 < 164 = 4

71-< 71-= 1 143 142 2

Складывая эти три неравенства, получаем, что сумма дробей меньше $14 + 14 + 12 = 1.$ _______________________________

Второе решение.

Без каких-либо раздумий аккуратно считаем и забираем свои баллы за эту задачу:

23 41- 71- 93 + 165 + 143 =

23⋅165-⋅143+-93⋅41-⋅143+-93⋅165⋅71 = 93⋅165 ⋅143 =

542685+ 545259+1089495 = -------2194335-------=

[ ] = 2177439= 65983- <1 2194335 66495

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#79623Максимум баллов за задание: 7

Найдите какие-нибудь целые числа $A$ и $B$ , для которых выполняется неравенство:

√- 0,999< A+ B 2 <1

Источники: Межвед-2019, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что для целых x и y выражение вида (x + y√2)ⁿ для всех n будет принимать тот же вид, то есть (x + y√2)ⁿ = x₁ + y₁√2, где x₁ и y₁ тоже целые числа.

Подсказка 2

Если найти такие целые x и y, что (x + y√2)ⁿ будет больше нуля, но меньше 0.001 при каком-то n, то 1 - (x + y√2)ⁿ будет в нужном нам по условию диапазоне. Какие x и y могут подойти для этого?

Подсказка 3

При x = -1 и y = 1 мы сможем получить число в промежутке от 0 до 0.001, так как √2 – 1 < 1/2. Тогда какой степени n точно будет достаточно, чтобы (√2 - 1)ⁿ было меньше 0,001?

Подсказка 4

√2 – 1 < 1/2, значит, (√2 - 1)¹⁰ < (1/2)¹⁰ < 1/1024 < 1/1000. Остается найти (√2 - 1)¹⁰ и вычесть данное число из единицы!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Мы знаем, что $√- 1.414213562< 2< 1.414213563$ . Давайте посчитаем приближения $√- x⋅ 2$ для маленьких $x$ и найдем какое-то число, которое будет близко к целому. Получим, что $√- 7.07106781< 5 2< 7.071067815$ . Теперь давайте посмотрим на $√- (5 2− 7)y$ и найдем такое $y$ , чтобы это число было близко к 1. Получим $√- 0.99494934< 14(5 2 − 7)< 0.99494941$ . Повторим эту операцию еще раз уже для $√- √ - 0.00505059< (1− 14(5 2− 7))t= (99− 70 2)t< 0.00505066t$ . Тогда при $t= 198$ мы получаем $√- 1 <198(99− 70 2)< 1.00003068$ . Значит, $√ - 0.999< 2− 198(99− 70 2)< 1$

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что $√- 2B2−A2 A+ B ⋅ 2= B√2−A-$ . Давайте найдем такие положительные $x$ и $y$ , что $2 2 |x − 2y |=1$ и $√- x+ y 2> 1000$ . Их можно таким способом. Начнем с $x =y =1$ . Для этой пары выполняется первое условие, но не выполняется второе. Заменим ( $x$ , $y$ ) на ( $x+2y$ и $x+ y$ ). Тогда $|(x+ 2y)2− 2(x +y)2|=|− x2− 2y2|=1$ и первое условие остается выполненным, а $√- x+ y 2$ увеличивается хотя бы на 1. Значит, такими операциями мы когда-то дойдем до нужных $x,y$ .

(1,1)→ (3,2)→ (7,5)→ (17,12)→ (41,29)→ (99,70)→ (239,169)→ (577,408)

Значит, при $x= 577$ и $y = 408$ мы знаем, что $2 2 x − 2y =1$ (так как знак постоянно меняется) и $√- x+ y 2> 1000$ . Значит,

1 x2− 2y2 √- x2 − 2y2 1− 1000 < 1− x+-y√2-=1 − (x− 2y)=1 −-x+y√2-< 1

Ответ:

$A = −3362, B = 2378$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#92338Максимум баллов за задание: 7

Какое из чисел больше: $┌││--∘--∘---∘-------- ∘13 19 13 19√13... ◟-------◝◜-------◞ 2017знаковкорня$ или $133∘19 13$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как-то очень много корней слева... Попробуйте возвести оба числа в квадрат.

Подсказка 2

Сократите одинаковые множители и возведите оба числа еще раз в квадрат.

Подсказка 3

А меняется ли после возведений в квадрат и сокращений правое число?

Показать ответ и решение

┌│--∘--∘------------ --- │∘ ∘ --√---- 3∘19 ◟13--19--1◝3◜-19-13...◞ ? 13 13 2017знаковкорня

Возведём обе части в квадрат:

∘ --∘----------- ∘--- ∘--√---- 2 3 192 13 19 13 19 13... ? 13 132

∘ -∘------------ ∘--- ∘ --√---- 3192 19 13 19 13... ? 13 132

И ещё раз в квадрат:

∘ -∘-------- ∘ --- 19 13 19√13-... ? 132 3 194 134

∘----------- ∘ --- 19 13∘ 19√13... ? 13⋅19⋅ 3 19 13

┌│--∘--∘------------ │∘ ∘ --√---- 3∘19- ◟13--19--1◝3◜-19-13...◞ ? 13 13 2015знаковкорня

В левой части мы избавились от двух корней, а в правой части после преобразований получили то, что и было до них. Значит, выполнив те же действия много раз, дойдём до: