Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Пусть лодка прошла по течению реки км и столько же против течения, то есть весь путь, пройденный лодкой, равен км. Время движения лодки по течению равно часов, а против течения — часов, значит, общее время движения равно

Чтобы найти среднюю скорость, нужно весь путь поделить на всё время:

Удивительно, но после сокращения получилось среднее гармоническое! Досчитав до ответа, получаем среднюю скорость 17,5 км/ч.

Пусть от момента рассвета до встречи прошло часов. Время, затраченное пешеходами на каждом из участков и , обратно пропорционально их скоростям, поэтому , то есть рассвет был в 6 часов.

Решая пропорцию , мы получили, что время движения путников до встречи — среднее геометрическое двух заданных значений времени!

Пусть — масса первого контейнера картофеля. Тогда масса второго контейнера равна . Пусть — цена, по которой следует продавать килограмм смеси. Тогда рубля за килограмм.

Заметим, что каждый километр пробега изнашивает передние покрышки на часть, а задние на часть. Пусть расстояние, пройденное автомобилем, равно км. Если покрышки поменять на середине пути, то их износ на всём пути будет равен

Максимальный износ покрышек равен 1, поэтому

Из полученного выражения видно, что найденное число является средним гармоническим чисел 15000 и Заметим, что если менять покрышки не на середине пути, то покрышки, прошедшие сзади больше, чем спереди, раньше выйдут из строя. Следовательно, покрышки надо поменять местами, пройдя 9375 км (половину максимального пути).

Пусть количество ступенек - время преодоления мальчиком эскалатора. Длину эскалатора можно принять за единицу, поскольку она одинакова в каждом из трёх случаев. Тогда скорость мальчика «по течению эскалатора» равна , а «против течения» Собственная скорость мальчика равна , следовательно, на неподвижном эскалаторе он насчитает 50 ступенек.

Пусть до момента встречи прошло время , — скорость первого курьера, — скорость второго курьера. Тогда и . Перемножая полученные равенства находим часов. Тогда первый курьер потратил часов на весь путь, а второй — 21 час.

Пусть эти числа , тогда из условия

Оба числа действительно положительны и разница между ними равна .

Пусть — расстояние между местом назначения и расположением велосипедиста, а — требуемая скорость. Тогда расстояние велосипедист с одной стороны проедет за время , а с другой — за . Приравнивая и сокращая на , получаем уравнение

откуда километров в час.

Пусть Алёна ехала в поезде часов. Тогда часов Алёна разговаривала по телефону. То есть телефон потерял долю заряда, равную . Также понятно, что при оставшейся части пути телефон потерял долю заряда, равную . Тогда имеем уравнение

Пусть — объем бутыли. Тогда скорость заполнения бутыли из крана Труса равна , Балбеса — , Бывалого — . Тогда при одновременном наполнении бутыль наполниться за время . Тогда процент сока равен

Пусть страниц в час - искомая скорость, а в половине книги содержится страниц, тогда время работы первого ч, время работы второго - ч, а предполагаемое время печатания книги - ч. Приравнивая это время, получим Тогда страниц в час).