.15 Последовательности. Индукция.

a) Для простоты давайте поделим наше гипотетическое неравенство на и тогда получится, что оно равносильно вот такому: Действительно ли это так? Действительно ли эта сумма слева меньше 1?

Ну, давайте оценим её сверху, сказав, что второе слагаемое меньше, чем первое (очевидно, при любом ):
Но из такой оценки вытекает уже вот что:
И это последнее выражение меньше тогда и только тогда, когда Этот логарифм приблизительно равен (убедитесь в этом сами), то есть мы доказали требуемое неравенство при и тем более при

b) Это уже гораздо более трудная задача. По сути, надо понять, когда выражение впервые становится меньше Оно ведь монотонно убывает, поэтому надо найти эту граничную точку, то есть такое ближайшее что до него у нас а вот уже после него
Как его найти? Формально, надо найти такой что и взять ближайшее следующее целое к этому

Это не самая тривиальная задача: решить это уравнение аналитически. Но приближенно можно вычислить (например, методом деления отрезка пополам или методом Ньютона для функции найти такой, что ), что то есть уже начиная с наше неравенство будет выполняться, причём это наименьшее такое Тем самым, мы доказали и пункт b).