.15 Последовательности. Индукция.

Попробуем доказать это по индукции.

1. База индукции. При мы имеем, что следовательно просто из условия следует, что Таким образом, база, очевидно, выполнена.

2. Шаг индукции. Пусть требуемое неравенство выполнено при всех Докажем его для

Заметим, что нам дано по условию, что
Рассмотрим тогда сумму Как доказать, что она больше, чем ? Давайте вспомним неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим и применим его к нашим :

Однако, как мы сказали выше, наше произведение под корнем по условию равно 1: Значит, имеем:
Таким образом, мы просто получаем, домножая на что
И мы всё доказали.

Контрольный вопрос: А где здесь вообще была индукция? Пользовались ли мы ей явно?