.15 Последовательности. Индукция.

1.Вспомним доказательство, например, того, что

Доказательство.
Здесь нам пригодится формула бинома Ньютона:

Давайте воспользуемся ей для Тогда получим:

Таким образом, знаменатели дробей в нашей последовательности ограничены снизу:
А, значит, сами дроби ограничены сверху:

И вот именно в конце-то мы и пользуемся теоремой о двух милиционерах, хотя и не проговариваем это явно.

А именно, вся суть этого доказательства фактически сводится к тому, что мы зажимаем последовательность сверху и снизу двумя бесконечно малыми последовательностями.

В процессе доказательства мы получаем оценку сверху

Но где же нижняя оценка? А она все это время неявно подразумевалась.

Очевидно, что для любого выполнено .

Таким образом, мы получаем такое двойное неравенство

Где - тождественно нулевая последовательность, , .

По тривиальным причинам . По теореме о пределе частного .

Но тогда, именно по теореме о двух милиционерах мы и заключаем, что , коль скоро она зажата между двумя последовательностями, сходящимися к одному и тому же (в данном случае, нулевому) пределу.



2. За еще одним примером использования теоремы о двух милиционерах далеко ходить не нужно.

Вспомним доказательство того факта, что

Доказательство.

Поясним переход с неравенством: мы заменили все серединные члены в дроби то есть члены вида на от чего произведение, разумеется, увеличилось, потому что все эти члены, как легко видеть, меньше (в числителях у нас стоят одни двойки, а в знаменателях - числа от до ).
Таким образом, мы получили, что, где Значит, и наша последовательность стремится к
И вот именно в конце-то мы и пользуемся теоремой о двух милиционерах, хотя и не проговариваем это явно.

А именно, вся суть этого доказательства фактически сводится к тому, что мы зажимаем последовательность сверху и снизу двумя бесконечно малыми последовательностями.

В процессе доказательства мы получаем оценку сверху

Но где же нижняя оценка? А она все это время неявно подразумевалась.

Очевидно, что для любого выполнено .

Таким образом, мы получаем такое двойное неравенство

Где - тождественно нулевая последовательность, , .

По тривиальным причинам . Более того, ясно, что .

Но тогда, именно по теореме о двух милиционерах мы и заключаем, что , коль скоро она зажата между двумя последовательностями, сходящимися к одному и тому же (в данном случае, нулевому) пределу.