Клетчатые разрезания, периметры и площади

Мы всегда считаем, что площадь торта равна

Покажем, что при некоторых запросах детей родители не смогут вырезать более требуемых кусков. Выберем число Предположим, что главных детей заказали по куску торта площади (а остальные трое сделали произвольные заказы так, чтобы суммарная площадь заказанных кусков была равна 1). Мысленно разобьём торт на 16 равных квадратов и отметим на торте все 9 вершин этих квадратов, не лежащих на границе торта (см. рисунок ниже). Тогда строго внутри любого квадратного куска площади будет лежать одна из отмеченных точек, то есть можно вырезать не больше девяти таких кусков. Значит, хотя бы шестерым детям желаемых кусков не достанется.

Осталось доказать, что детей всегда смогут получить желаемое. Пусть

— длины сторон кусков, которые хотят получить дети, то есть

Покажем, что из квадрата можно вырезать куски со сторонами

Для этого нам потребуются неравенства

Для доказательства первого неравенства заметим, что

в последнем переходе мы воспользовались неравенством между средним квадратичным и средним арифметическим. Второе неравенство доказывается аналогично:

Из неравенств следует, что можно разрезать торт на горизонтальные полосы высот, не меньших и соответственно, и в -ю полосу уложить квадраты со сторонами и как показано на рисунке ниже.

Во-первых, докажем что Для этого полезно доказать более сильное утверждение: для произвольной фигуры из клеток количество квадратов в семействе, таком что все квадраты лежат в фигуре и для любого квадрата найдется клетка, покрытая только им, не превосходит Рассмотрим два случая: для семейства найдется клетка покрытая четырьмя квадратами, и случай, когда такой клетки не найдется.

Если такая клетка нашлась, то рассмотрим четыре покрывающих ее квадрата. Они образуют квадрат с клеткой в центре. И поскольку в каждом из четырех квадратов должна быть клетка, покрытая только им — это четыре угловые клетки квадрата поскольку все остальные покрыты хотя бы дважды. Но тогда никакой другой квадрат из семейства не покрывает клетки квадрат иначе он покрывает и угловую клетку, а она должна быть покрыта только один раз. Итак, все остальные квадраты лежат в множестве площади В этот момент доказательства еще не поздно решить, что на самом-то деле мы ведем индукцию по :), благо база тривиальна. Итак, всего квадратов в семействе оказывается не больше

Пусть клетки, покрытой четырьмя квадратами из семейства, не найдется. Поместим в каждую клетку множества единичный заряд. Теперь пусть каждая клетка, покрытая квадратами из семейства, отдаст каждому из этих квадратов по заряда (таким образом, раздаст весь свой заряд). Тогда каждый квадрат семейства получил заряд не меньше потому что минимум от одной клетки получил и от остальных получал не меньше от каждой. Итого, всего полученного заряда не меньше чем дважды число квадратов в семействе, а отданного заряда не больше итого квадратов в семействе не больше

Теперь построим пример, доказывающий, что следовательно неравенство при неверно при всех достаточно больших

Возьмем бесконечную клетчатую плоскость и покрасим ее в два цвета следующим образом: выберем одно из двух направлений диагонали, покрасим все клетки каждой диагонали в один цвет: две диагонали в белый, следующие две в черный и так далее с периодом Теперь выберем квадрат в который черных клеток попало не меньше чем белых, то есть хотя бы Теперь на каждую черную клетку внутри квадрата положим квадрат так, чтобы кроме этой черной клетки квадрат содержал только белые (это можно сделать единственным образом). Удалим все квадраты частично вылезшие за границы квадрата их не больше Требуемое семейство построено.

Пусть ширина прямоугольника равна . Из первого чертежа мы понимаем, что длина прямоугольника в четыре раза больше его ширины, то есть она равна . Теперь можно посчитать размеры буквы .

Отсюда получаем уравнение

Периметр квадрата равен .

Несложно проверить, что куб можно разрезать на кубика и кубика

Оценка. Площадь квадрата делится на поэтому площадь вырезанной части тоже должна делиться на Поэтому возможная сторона вырезанного квадрата только

Пример на рисунке.

Площадь такого прямоугольника равна . По условию какая-то его сторона не меньше , потому возможны два случая: стороны равны или . Во втором случае ни один уголок вырезать нельзя. В первом же после вырезания полоски останется полоса , вдоль которой также нельзя будет вырезать уголки, то есть Вася не прав.

Пример разрезания приведен на картинке. Возможно, он не единственный.

Пример: При нечётном (где — целое неотрицательное число) рассмотрим одну фигурку, к которой к стороне, равной (см. рис. ), приставим прямоугольник размера состоящий из прямоугольников (“кирпичей”), каждый из которых в свою очередь состоит из двух фигурок “Г”. При чётном (где — натуральное число) к фигуре, состоящей из двух фигурок (см. рис. ), к стороне аналогично подсоединим “кирпич”.

Например, так:

Пример разрезания приведен на картинке. Возможно, он не единственный.

В каждом многоугольнике разбиения должны быть клетки обоих цветов. Значит, в нём должна быть чёрная клетка, граничащая с белой. Но таких клеток всего 9.

Пример разрезания на 9 многоугольников (для светлой темы):

Здесь 8 многоугольников с 1 чёрной клеткой и 3 белыми, оставшийся многоугольник содержит 17 чёрных клеток и 51 белую.

Пусть такого прямоугольника не нашлось. Периметр прямоугольника со сторонами и равен . Раз это число не делится на , то сумма длин сторон должна быть нечётна. Это возможно только если длины сторон разной чётности. Но тогда площадь прямоугольника должна быть чётным числом. Получается, что исходный квадрат должен быть разбит на прямоугольники чётной площади. Тогда и площадь самого квадрата должна быть чётной, но она равна — противоречие.